Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y
	B
M	B	b
M		b

						f(c)	f (x)dx	f (c)(b a)	(7)
						f(c)
m	A						a
m
0


		a		c	b	x
		a		c	b	x

			Рис. 13.
	Геометрический смысл. Если							обе части	равенства

рассматривать как площади фигур, то криволинейная трапеция aABa равновелика прямоугольнику с длиной основания (b-a) и

высотой f(c).
	Доказательство:
	А)	Пусть a<b. По теореме Вейерштрасса,					непрерывная
на	отрезке		a, b	функция f(x) достигает		на	нѐм своего
наибольшего			М	и	наименьшего	m	значений:
m	f (x)	M	x	a,b .	Интегрируем это	неравенство в

пределах от а до b; по свойству 4 получим: b

m(b a) f (x)dx M (b a) .

								a
Делим на (b-a)>0:
		1				b
m		1						f (x)dx M .

			b		a
			b		a
						a
					1		b
Обозначим	h				1			f (x)dx . Тогда	m	h M . Так как

				b	a
				b	a
							a
функция f(x)		непрерывна на отрезке a, b ,								то она принимает
								66

любое промежуточное значение, заключѐнное между m и М.

Поэтому h – одно из значений функции f(x) на a,b :							f (C) h ,
					1		b
где	C	a,b ,	т.е.	f (c)	1		f (x)dx


					b	a
							a
(8)
		b
	или	f (x)dx	f (c)(b a)
		a
	в) Пусть a>b. Тогда
	b	a
	f (x)dx	f (x)dx	(a b) f (c)	(b a) f (c)
	a	b

получим интеграл, где нижний предел меньше верхнего. Число f(c), получаемое по формуле (8), называется средним значением функции на отрезке a, b .

Пример.

Сила переменного

тока равна i

I0 sin

2 t

Найти среднее значение i 2 (t)

за период Т:

i (t)

i (t) 0. i 2 (t)

i 2 (t)dt

I 0

2 T

2 2 t

I 0 2

sin

t t

2 (t)

Рис. 14.

эф

3.4. Определѐнный интеграл с переменными верхним пределом. Связь между определѐнным и неопределѐнным интегралом

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке	a, b . Тогда
b
f (x)dx есть число, не зависящее от	переменной

интегрирования. Поэтому в определѐнном интеграле переменную интегрирования можно обозначить любой буквой:

b	b	b
f (x)dx	f (t)dt	f (z)dz	S	(если	f (x)	0 ).
a	a	a
Рассмотрим отрезок		a, x , где	a	x b .	Раз функция
интегрируема на a, b ,		то она интегрируема на				a, x , но на

этом отрезке верхний предел интегрирования будет переменным:

f (x)dx

f (t)dt .

y=f(x)

f(c)

x+ x

Рис. 15.

При

этом

каждому

значению

a,b соответствует

единственное значение определѐнного интеграла. Таким образом интеграл с переменным верхним пределом есть функция верхнего предела:

	x
Φ(x)	f (t)dt a	x b .	(9)
	a
(При f (x) 0	Φ(x) можно	рассматривать как	площадь

заштрихованной криволинейной трапеции).

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b , то функция Φ(x) дифференцируема на a, b , причѐм

Φ (x) f (x) .

Т.е. Φ(x) есть первообразная для f(x) на a, b . Производная

от определѐнного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой

аргумент t заменяется на х:

f (t)

t x

f (x) .

Доказательство.

Фиксируем х

a,b

и найдѐм приращение

функции Φ(x) :

Φ(x)

f (t)dt

Применяем теорему о среднем к отрезку

x, x

x :

Φ(x) f (c) x ,

c x, x

x .

(10)

Так как при x

x ,

то и

0 .

Φ(x)

Разделим обе части (10) на x : f (c) . По условию x

f(x) непрерывна на		a, b ,	поэтому	lim		f (c)	f ( x) .
				c	x
				x	0
Значит, существует предел левой части (10) при						x	0 :
lim	Φ(x)	f (x) , т.е.	Φ (x)	f (x) .

	x
x 0	x

Таким образом, функция Φ(x) является первообразной для f(x), непрерывной на a, b . Поэтому можно записать:

		x
f (x)dx	Φ(x) C или, так как Φ(x)	f (t)dt , то
		a
	x
f (x)dx	f (t)dt C	(11)
	a

Формула (11) устанавливает связь между неопределѐнным и определенным интегралами.

3.5. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определѐнного интеграла

Установленная связь между определѐнным и неопределѐнным интегралами (11) позволяет получить очень важную формулу для вычисления определѐнного интеграла.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b и F(x) есть какая-то из первообразных для f(x) на a, b , то имеет место формула:

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога