Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

b
f (x)dx	F (b) F (a)	- формула Ньютона-Лейбница.(12)
a
Будем	обозначать	F (b) F (a) F ( x)	b	- двойная
Будем	обозначать	F (b) F (a) F ( x)	b	- двойная
			a
			a

подстановка.

Пример 1. Вычислить

16).

y= x 2

S=7/3

12 x

Рис. 16 .

определенный интеграл (рис.

y
	y=sinx
1			S=2
1			S=2
0

		x
		x

Рис. 17.

2 x2dx		x3	2	8	1		7	.
		x3	2	8	1		7
	3		1	3	3		3
				3	3		3
1
1
Пример 2. Вычислить определенный интеграл (рис.
17). sin xdx
17). sin xdx				cos x		0			t	2
0				cos x		0
0
Доказательство.				По условию F (x)							f (x)	x	a,b .
											x
Кроме того,	по доказанной теореме Φ(x)										f (t)dt		также

является первообразной. Но разность двух первообразных

постоянна: Φ(x)

F(x)

или

Φ(x)

F(x)

C ,

т.е.

f (t)dt

F (x)

a,b . Найдѐм с. Положим, х=а:

Тогда

f (t)dt

0 и 0

F(a)

F(a) .

Поэтому:

f (t)dt

F ( x)

F (a) .

Это

равенство

справедливо для любых x

a,b . Положим x=b:

f (t)dt

F (b) F (a)

или

f (x)dx

F (b)

F (a) .

Примеры.

arctgx

arctg1

arctg0

0 1

2 .

Получили абсурд,

так

как

терпит

разрыв

точке

х=0

применять

формулу

Ньютона-Лейбница нельзя.

3.6. Интегрирование по частям в определѐнном интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрируем		это		тождество	по	х	в
промежутке a, b .
b		b
udv uv	b		vdu .
udv uv	b		vdu .
	a
	a
a		a
Эту формулу надо понимать так:
b				b
v (x)u(x)dx u(x)v(x)			b	v(x)u (x)dx .
v (x)u(x)dx u(x)v(x)			b	v(x)u (x)dx .
a			a	a
			a

Формула такая же, интеграла, но в результат интегрирования.

Пример. ln(1 x)dx

0
		1	xdx
x ln(1 x)	10

			x 1


		0

что и для неопределѐнного надо подставить пределы

u	ln(1	x); du			dx	;
u	ln(1	x); du				;
				1	x
dv	dx;		v	x.
	1	1	dx
ln 2	dx		dx

			x	1
			x	1
	0	0

ln 2 x	10	ln 2 x	10 ln(1 x)	10 ln 2 1 ln 2
ln 2 x

2 ln 2		1.

3.7. Замена переменной в определѐнном интеграле b

Пусть надо вычислить f (x)dx , где f(x) – некоторая

непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x (t) . При этом пользуются

следующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1.	Функция f(x) непрерывна на отрезке a, b .
2.	Функции (t) и (t) непрерывны в промежутке

,	и	a	(t)	b	при	t	и
( )	a; ( )	b .
3. Сложная функция			f	(t)	непрерывна на		, .
Тогда
b
	f (x)dx	f	(t)	(t)dt			(13)

Пояснения.

1. Условия (1) и (2) обеспечивают непрерывность подынтегральных функций в левой и правой частях

формулы (13). Монотонность			(t) требуется для
существования обратной функции.
	x
	b
		x= (t)	f(c)
x			f(c)
x

a
0	t	t
	Рис. 18.

2. Условие (3) устанавливает соответствие между пределами интегрирования до и после замены переменной по формуле x (t) .

Доказательство.
Пусть F(x) является			первообразной		для f(x). По
			b
формуле Ньютона-Лейбница			f (x)dx	F (b)	F (a). Тогда
			a
f (t)	(t)dt	f (t) d (t)		F (t)
f (t)	(t)dt	f (t) d (t)		F (t)
F ( )	F ( )	F (b) F (a)

(форма первообразной не зависит от выбора аргумента интегрирования. Раз правые части этих равенств равны, то равны и левые части, что и доказывает формулу (13)).

Замечание. При вычисление неопределѐнного интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось возвращаться к старой

переменной х. Если в определѐнном интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Примеры.

						t 2
4				x	t; x	t 2	2			2
4	dx						2	2tdt		2	t 1 1
	dx		dx		2tdt			2tdt	2		t 1 1	dt
									2			dt
1		x	x1		0;t1	0	1 t			0	t 1
0			x2		4;t2	2	0			0
			x2		4;t2	2

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога