Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2				2	dt
2 dt								2t		2		2 ln		1 t	2		4 2 ln 3
										2					2
					t 1					0					0
0				0	t 1					0					0
0				0
2.
a							x		a sin t				dx		a costdt
	a 2			x2 dx
							x1				0 t1		0 x2				a;t2
0							x1				0 t1		0 x2				a;t2		2
0																			2

2													2
		a 2		a 2 sin2 ta costdt										a 2	cos2 tdt
0													0

2											2								2
2			1	cos2t					a				sin 2t			2		a
a 2
						dt						1

				2				2					2			0	4
				2				2					2				4
0

ln 2							e x		1			t; x		ln(t 2		1)
ln 2										2t
		e x 1dx				dx				2t			dt;

0									1		t 2
									1		t 2
						x1			0 t1 0; x2						ln 2 t2		1
						x1			0 t1 0; x2						ln 2 t2		1
1			2t			1		t 2	1			1
	t		2t	dt	2			t 2	1			1	dt
	t		t 2	dt	2			t 2					dt
0	1		t 2			0		t 2			1
0						0
	1			1	dt
2			dt							2 t		arctgt			10	2 1		.

				0 1	t	2											4
	0			0 1	t

3.8. Несобственные интегралы

При

определении

интеграла

f (x)dx

предполагалось, что :

1.промежуток a, b конечен.

2.функция f(x) определена и непрерывна в a, b

(интегрируемость в смысле Коши)

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I рода).

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке a,.

На

данном

промежутке

не

существует

определѐнный

интеграл, поскольку

нельзя

разбить

промежуток

на n частей конечной длины.

Рис. 19.

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Рассмотрим f(x) на a, N (рис. 19). Она интегрируема на этом отрезке:

(N ) f (x)dx .

(14)

Определение. Несобственным интегралом от

функции f(x) по бесконечному		промежутку a x
называют предел интеграла (14) при N			:
		N
f (x)dx	lim	f (x)dx .
	N
a		a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

lim

arctgx

0 1

Nlim arctgN arctg0

Интеграл сходится.

sin xdx

lim

sin xdx

lim

cos x

lim 1 cos N

Предел не существует – интеграл расходится.

3.dxp . При каких р интеграл сходится и при каких

1 x

расходится?

1) Пусть p>1.

p dx

lim

x p

lim

( p 1)N p 1

p 1

Интеграл сходится.

2) Пусть p<1.

p dx

x p

1 p

Интеграл расходится.

3) р=1

ln x

Интеграл расходится.

P<1

P=1

P>1

Рис. 20.

Все три кривые

(p>1, p=1, p<1) имеют своей

x p

горизонтальной асимптотой ось Ох (рис. 20).

Но если при p>1 площадь под кривой конечна, то при

p 1 она бесконечна, т.к. в этом случае функции	y	1

		x p
		x p

убывают недостаточно быстро при x . Большинство свойств определѐнного интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке

, a , то

аналогично:

a a

f (x)dx	lim	f (x)dx .
	N
		N
Если f(x)	непрерывна		на всей числовой оси, то
(рис.21)
	a
f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx .




0		хx
	a

Рис. 21.

Интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл.

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога