Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	f (x)dx			или		(18)
a
b
	f (x)dx ,					(19)
a

причѐм			f (x)dx				f (x)	dx или
причѐм			f (x)dx				f (x)	dx или
		a				a
	b			b
	b			b
	f (x)dx				f (x)dx		. (без доказательства).
	f (x)dx				f (x)dx		. (без доказательства).
	a			a

y=f(x)
	y= f(x)
+	+	+
0	+
0		x
		x

Рис. 29.

Геометрически теорему можно пояснить так. Если интеграл сходится абсолютно, то площадь, ограниченная

кривой y	f (x)	при a x	конечна. Значит, будет

конечна и алгебраическая сумма площадей, ограниченных кривой y=f(x).

Может оказаться, что интеграл (16) или (17) расходятся, но интегралы (18) или (19) сходятся. Тогда интегралы (18) и (19) называются не абсолютно сходящимися (условно).

Пример. Исследовать сходимость интеграла

cos x

Рассмотрим

интеграл:

cos x

dx .

Сравним

его и

интегралом

, который сходится , т.к. р=2. Очевидно,

cos x

что

, следовательно

сходится. Но

x 2

cos x

и заданный интеграл сходится абсолютно.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

4.1. Две схемы применения определѐнного интеграла

Существуют два подхода к практическому применению определѐнного интеграла. Рассмотрим их на примере вычисления площади криволинейной трапеции.

у0

х0=a

...

n-1

xn=b

Рис. 30.

Пусть

f (x)

a,b

и непрерывна на

a, b .

I способ. – с помощью составления интегральной суммы

– мы его рассмотрели при введении понятия определѐнного n 1 b

интеграла: S	lim			f (	k ) xk	f (x)dx .
	max xk	0	k	0		a

II способ. Рассматриваем площадь, как переменную
величину: S S(x) a			x	b .
Если аргумент получает приращение						x , то площадь получает
приращение	S :	S		dS	бесконечно малое высшего
порядка относительно		x .		dS	f (x)dx - площадь бесконечно
узкого прямоугольника (рис. 31).

у		М2
	М1
у0	М


	A

а	х	х+ х	b
				x

Рис. 31.

Площадь всей трапеции получается суммированием площадей этих прямоугольников. Так как прямоугольников бесконечно много, то суммирование по отрезку a, b заменяем интегрированием от a до b:

f (x)dx

(1)

Можно доказать, что обе схемы эквивалентны. Но первый способ более громоздок. Его обычно применяют в математике и механике. В приложениях обычно применяют второй способ: составляют дифференциал искомой величины, который затем и интегрируют по нужному промежутку.

4.2. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) 0 на отрезке a, b , то площадь криволинейной трапеции вычисляют по формуле (1). Если

f (x) 0 на a, b , то f (x)dx 0 и a

	b	b
S=	f (x)dx		f (x)			dx
S=	f (x)dx		f (x)			dx
	a	a
Если f(x) принимает на		a, b		значения разных знаков, то
				b
		S			f (x)		dx
		S			f (x)		dx

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями:

; y

0; x

1; x

2 (рис. 32).

Рис. 32.

Рис. 33.

ln 2 (кв. ед.)

ln x

ln 2

ln1

Пример 2. y

sin x

; y

0 (рис. 33).

sin x

0 0

sin x

sin xdx

(

sin x)dx

cos x

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога