Материал: kisliakova_ma_vvodnyi_kurs_matematiki

равна вероятность того, что случайно выбранный сотрудник будет женщиной с высокой зарплатой?

И. Поиск плана. Задача относится к разделу случайные события. Проводится одно испытание, имеющее сложный исход: выбранный работник женщина, выбранный работник имеет высокую зарплату. Следовательно, задача относится к «Алгебре событий».

III. Осуществление плана.

Испытание: Случайным образом выбирается работник. Событие А: сотрудник имеет высокую зарплату. Событие В: сотрудник - женщина.

События А и В зависимы. Составляем формулу: Р(АВ) = Р(В)Р(А / В) . Определим известные величины из условия: Р(АВ)=6,4 %=0,064, Р(А)=0}21, Р(В)=0,4. Следовательно, искомой величиной будет Р(А/В). Найдем ее из

Р(А)=0,21, то можно утверждать, что женщины, работающие в фирме, имеют меньше шансов получить высокую зарплату по сравнению с мужчинами.

Задание № 7.6. Какова вероятность того, что Вы отгадаете пинкод не более, чем с третьей попытки?

Пример № 7.7. Вы знаете ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае вы имеет большую вероятность сдать экзамен: если идете отвечать первым, если - вторым, если третьим?

56

Р ( С ) = Р (с,)- Р ( с 2) • г (с /ОА) + Р (с,) • Р ( с 2) ■Р (с / С-А ) + 4

5. Ответ. Как видно из полученных результатов, вероятность идти первым или вторым значительно выше.

Задание № 7.7. В коробке имеются 2 красных карандаша, 3 синих и 2 зеленых карандаша. Из нее наудачу без возращения вынимают один за другим по одному карандашу. Найти вероятность того, что красный карандаш появится раньше синего.

п.4. Нахождение полной вероятности события

Если испытание представимо в виде двух действий, сначала происходит одно действие и за ним следует выполнение другого, и случайное событие следует в результате такой последовательности действий, то речь идет о полной вероятности случайного события. Для распознавания такого типа задач, необходимо испытание сформулировать в виде «сначала ..., потом ...». Для нахождения полной вероятности случайного события используется формула.

P(A) = f lp(Hi) p ( A / H i). i=1

Распишем формулу для i=2, i=3.

Р{А) = v i H j v i A / H , ) + р(Н2) р (А / Я2) .

Р (А) = р{Н1)р{А / Я ,) + р{Н2) р (А / Я ,) + р{Н3) р (А / Я3) .

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и то выполняется равенство, называемое формулой

Р(Л,.)Р(Л/Я,.)

Байеса: Р ( Н { / А ) =

Р(А)

П ример № 7.8. В двух коробках находятся лотерейные билеты. В первой коробке 10 билетов, из них 2 выигрышных, во второй коробке 20 билетов, из них четыре - выигрышных. Из каждой коробки был взят один билет, а затем Вы из этих двух выбрали один билет. Найти вероятность того, что этот билет

Щ О + РС Я Щ !

4 Внимательно разберитесь с формулой и входящими в нее слагаемыми.

57

Задание № 7.8. На карточках написаны буквы слова «инстаграмм», но две карточки из этого набора утеряны. Наудачу извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что на ней окажется согласная буква?

Пример № 7.9. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что 66% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительны.

Р(А/НЯ)

5.Посчитаем событие Р{А)^Р{И1) Р ( А / „ Р Р (Л2) • Р (А /щ) =

Задание № 7.9. Имеются три партии телефонов одинаковой марки, насчитывающих соответственно 20, 30 и 40 штук. Вероятности того, что телефон проработает заданное время, равны соответственно для этих партий 0,7, 0,8 и 0,9.

58

Известно, что выбранный наудачу комиссией телефон проработал заданное время. Какова вероятность того, что этот телефон принадлежит первой партии?

П ример № 7.10. Психолог тестирует учеников по трем тестам. У него имеется следующая информация по предыдущему тестированию. Из 27 учеников, показавших удовлетворительные результаты, шесть были отличниками, и было трое учеников, являвшихся неуспевающими. Психолог, проводивший тестирование в прошлый раз, полагает, что отличники пройдут все три теста с вероятностью 80 %, остальные успевающие ученики - с вероятностью 60 % и неуспевающие - с вероятностью 20 %. Случайно протестированный ученик успешно прошел все три теста. Какова вероятность того, что он: а) отличник, б) успевающий ученик, в) неуспевающий ученик?

Решение. Проведем анализ условия и сделаем выводы из каждого условия. 1. Сколько человек всего? На сколько групп можно разделить всех учеников? Всего 30 человек. Распределим их на три группы: «отличники» - 6 учеников;

«хорошисты» - 21 ученик; «неуспевающие» -- 3 ученика. 2. Сформулируем два испытания по условию задачи.

Испытание Xе 1 (было ранее): психолог выбирал группу, затем тестировал студента.

Испытание X5 2. (сейчас): психолог тестирует студента, потом определяет его группу.

3. Рассмотрим случайные события, происходившие при первом испытании. Сначала выбирают ученика из одной из групп:

Событие Hi: ученик из «отличников». Событие Н2: ученик из «хорошистов». Событие Н3: ученик из «неуспевающих».

Вероятности этих событий вычисляются по формуле Р(А\ ——:

п

Р (Я ,) = А = о,2, Р ( Я 2) = |1 = 0,7, Р ( Я 3) = | р О , 1 /

Проверим, что сумма найденных вероятностей будет равна 1 (это означает, что ученик либо отличник, либо хорошист, либо неуспевающий, четвертого не дано):

Р(Я :) + Р(Я 2) + Р (Я 3) = 0,2 + 0,7 + 0,1 = 1.

4.Затем ученик проходит три теста.

Формулируем событие А: ученик успешно выполнил все три теста (нас интересует только это событие). Ученик может быть из первой, или второй, или третьей группы. Математически это запишется с помощью понятия условная вероятность: Р (А / Я :) = 0,8, Р ( А / Я 2) = 0,6, Р ( А / Я 3) = 0,2.

Найдем вероятность события А по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р ( Я 1) Р ( А / Я 1) + Р ( Я 2) Р ( А / Я 2) + Р ( Я 3) Р ( А / Я 3).

Р(А) = 0,2 -0,8 + 0,7 *0,6+ 0,1- 0,2 = 0,6.

5.В результате второго испытания, психолога интересует событие: ученик, который успешно прошел три теста из группы «отличников». Математически это

будет записано так: Р (^Н1/ А). Найдем вероятность этого события:

59

7.Найдем вероятность того, что ученик, который успешно прошел тест, из

тестирование из первой группы равна 0,26; из второй - 0,7, из третьей - 0,03.

Задание Ш 7.10. В коллективе 30 человек: 20 женщин и 10 мужчин. Не сдали вовремя работу 4 женщины и 4 мужчины. Анонимно опрошенный человек не сдал вовремя работу. Какова вероятность, что это был мужчина?

п.5. Вычисление вероятности события в схеме Бернулли

Иногда приходится рассматривать задачи, в которых проводятся повторные, независимые друг от друга испытания, имеющие только два противоположных исхода, вероятность наступления которых постоянна. Например, десять раз кидают мяч в корзину; дают однозначный ответ (да/нет) на двадцать вопросов; проверяют 100 лотерейных билетов; проверяют на испорченность 250 коробок с яблоками; проверяют книгу, содержащую 300 страниц на наличие опечаток.

Будем рассматривать три типа задач, которые подчиняются схеме Бернулли (испытания независимы друг от друга, каждое испытание имеет два исхода, вероятность появления события в каждом испытании постоянна и равна р)5.

Пример № 7.11. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету лотереи равна 0,2. Какова вероятность того, что из шести приобретенных билетов два билета окажутся выигрышными?

Решение.

1. Формулируем испытание: проводится б повторных независимых испытаний, имеющих два исхода - билет выигрышный или билет невыигрышный.

того, что при п=6 независимых испытаниях событие А произойдет ровно т = 2

раз: Р4(А = 2) -? (Тип 1).

4. Выпишем формулу и подставим в нее значения из условия задачи

5 Алгоритмы и формулы для вычисления вероятностей событий, удовлетворяющих Схеме Бернулли приведены на стр.

60