|
6 ! |
( I |
2 |
( 4 |
4 |
|
Р$(2) = Cl • (0,2)2 • (0,8)6-2 |
|
|
V5, |
0,246. |
|
214! ’U |
|
|
||
5. |
Запишем ответ: вероятность того, |
что |
|
два |
билета из шести окажутся |
выигрышными равна 0,246.
Задание № 7.11. Для данного баскетболиста вероятность попасть мячом в корзину равна 0,3. Какова вероятность, что при шести бросках три будут попаданиями, если броски считать независимыми?
П ример № 7.12. Вы отправили 4000 электронных писем. Вероятность того, что Вы ошиблись адресом, равна 0,0005. Какова вероятность неполучения писем
тремя адресатами? |
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
1. |
Формулируем |
испытание: |
проверяется |
4000 электронных писем |
(доставлены или нет). Испытания повторные, независимые друг от друга. |
||||
2. |
Формулируем |
событие А: |
электронное |
письмо не доставлено. |
Р(А) = 0,0005 = р, р (а ) = 0,9995 = ?. |
|
|
||
3. |
Определяем тип по требованию задачи: определить вероятность того, что |
|||
при 11—4000 независимых испытаниях событие А произойдет ровно m — 3 раз:
Ди>(Л = 3)-?(Т и п 1).
4.Выпишем формулу и подставим в нее значения из условия задачи
лт
п> 10 X = пр = 2 < 10 -> Рп{т) м — е~л .
т !
=0,1804.
5. Запишем ответ: Вероятность того, что три письма не будут доставлены равна 0,18.
Задание № 7.12. Найдите вероятность осуществления от двух до четырех разговоров но телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.
П ример № 7.13. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что
событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз? |
|
|
Решение. |
|
|
1. |
Формулируем испытание: проводятся 100 испытаний. Испытания |
|
повторные, независимые друг от друга. |
|
|
2. |
Вероятность события А: Р(А) = 0,8 = р, |
= 0,2 = q. |
3. |
Тип 2: определить вероятность того, что |
при д—100 независимых |
испытаниях событие А произойдет от m = 75 раз до т=90: РАШ(75 <,А ^ 9 0 ) - ?
4. Выпишем формулу и подставим в нее значения из условия задачи. Так как
промежуток большой т с: [75, 90], то Рт (75 < т < 90) - Ф(*2) -<$(*,). |
|
|||||
_ Ь - п р |
90-100-0,8 _ |
10 _ |
f _ а - п р |
_ 75-100-0,8 |
_ -5 _ |
9К |
2 _ ф т |
ДОО-0,8-0,2 |
~ 4 ~ |
^ "" |
~ ^100-0,8-0,2 |
_ 4 “ |
’ |
61
По статистической таблице для функции Лапласа, получим, что
Ф(2,5) = 0,4938; Ф(-1,25) = -0,3944.
5.Вычислим искомую вероятность
Р100(75 < т < 90) = Ф(^) - Ф&) - 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
6. Запишем ответ. Вероятность того, что событие А произойдет от 75 до 90 раз равна 0,89.
Задание № 7.13. Рекламной фирмой в типографии было заказано 1000 листовок. Вероятность того, что листовка будет испорчена, равна 0,0001. Вычислить вероятность того, что будет испорчено не более двух процентов листовок.
П ример №7.14. При приеме на работу Вам предлагают пройти тестирование из шестидесяти вопросов, на каждый вопрос приведено четыре ответа, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан на 21 вопрос?
Решение. Случай первый.
1.Сформулируем испытание: соискатель отвечает на 60 вопросов.
2.Сформулируем событие А: при простом угадывании, дал правильный
ответ.
3.Проверим схему Бернулли: проводится 60 испытаний, каждое испытание имеет два исхода, вероятность появления события в каждом испытании постоянна
Р(Д ) = 0,25, Р ( 1 ) = 0 ,7 5 .
4.Определим тип задачи: Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан на 21 вопрос? (Тип 1)
5.Подставим данные условия задачи в следующие формулы.
п > 10 -» X - пр = 15 -» Рп(т) « Р 1
|
|
yjnpq |
х = гп - пр _ |
21-15 |
^ 2,09, |
Jnpq _ |
V60 • 0,25 • 0,75 |
|
( 2, 09?
1е
6.Формулируем ответ: вероятность того, что простым угадыванием верный ответ будет дан на 21 вопрос из 40, равна 0,024.
Задание № 7.14. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,01. Проверяется несколько книг, содержащих вместе 2500 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажется 10 страниц?
П ример № 7.15. Вы учите группу, состоящую из 50 детей. Вероятность того, что ученик не усваивает учебную информацию равна 0,05. Найдите наиболее вероятное число учеников, которые не усваивают информацию.
Решение. {Речь идет о наиболее вероятном числе, под которым понимают число га0, для которого вероятность, соответствующая этому числу,
62
превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных
возможных чисел появления события А}. |
|
1. |
Выпишем формулу для нахождения наивероятнейшего числа |
п р - q < гщ <пр + р. Подставим данные из условия задачи п=50, р —0,05, q=0,95. |
|
|
1,55 < m0 <2,55 —» щ = 2. |
Таким образом, наиболее вероятно, что два человека из пятидесяти не усваивают информацию.
2. |
Подсчитаем по формуле Пуассона вероятности события А для разных |
|
случаев. |
|
|
Найдем вероятность того, что один человек из 50 не усваивает информацию: |
||
|
Хт |
2 51 |
п = 50 -> Я = пр = 50 • 0,05 < 2,5 -> Рп(т.) ~ — |
е 'л -> Р60(1) » -^— е-26 = 0,20. |
|
|
ml |
1! |
3. |
Найдем вероятность того, что два ученика из 50 не усваивают |
|
информацию: |
|
|
Р60( 2 ) « ^ - е - 2-5 =0,26.
4.Найдем вероятность того, что три ученика из 50 не усваивают информацию:
^a o (3 )* ^ f е-2'5 =0,21.
5.Найдем вероятность того, что четыре ученика из 50 не усваивают информацию:
й1 Г е"2'6 = °>13.
6.Найдем вероятность того, что десять учеников из 50 не усваивают
информацию:
PJ10) я 2 5ю |
= 0,00013. |
|
50 ' |
10! |
|
Если посчитать все вероятности, то увидим, что вероятность того, что два человека из пятидесяти не усваивают информацию наибольшая.
Задание №7.15. Вероятность попадания мячом в кольцо при одном броске равна 0,85. Вы делаете 25 независимых бросков. Найдите наивероятнейшее число попаданий.
63
Правила и формулы для вычисления вероятностей случайных событий*
|
Классическое определение |
|
Нахождение вероятности сложного события |
|
Нахождение полной вероятности |
||||
|
вероятности события |
1. |
Сформулируйте испытание. |
1. |
Сформулируйте |
испытание: |
«сначала..., |
||
1. |
Сформулируйте испытание. |
2. |
Сформулируйте события из условия задачи. |
|
потом...». |
|
|
||
2. |
Определите все случайные |
3. |
Сформулируйте событие, вероятность которого нужно |
2. |
Сформулируйте события Hi, |
происходящие |
|||
события и их число. |
найти и составьте его формулу. |
|
при первой части испытания (попарно |
||||||
3. |
Проверьте, что испытание одно, |
4. |
Если в формуле есть сумма, определите совместны (могут |
|
несовместные). |
Найдите |
вероятности |
||
все события равно возможны и |
произойти одновременно) или несовместны (ни при каких |
|
событий Hi,H2,...,Hn и их сумму, которая |
||||||
независимы друг от друга. |
условиях не произойдут одновременно) слагаемые суммы. |
|
должна быть равна единице. |
|
|||||
4. |
Сформулируйте событие, |
Если |
в формуле есть произведение, определите |
3. |
Сформулируйте |
событие, |
вероятность |
||
вероятность которого надо найти. |
зависимы/независимы сомножители в произведении. |
|
которого нужно найти. |
|
|||||
5. |
Определите число m |
5. |
Выберете формулу: |
|
4- Найдите условные вероятности P(A/Hi), |
||||
благоприятствующих событий. |
|
- |
если совместные, то Р(Ач-В)—Р(А)Ч-Р(В)~Р(АВ); |
|
Р(А/Н»),...,Р(А/Нп). |
|
|||
6. |
Вычислите вероятности по |
|
- |
если несовместные, то Р(А +В) —Р(А) +Р(В); |
о. Посчитайте событие А по формуле полной |
||||
формуле Р(А) = т |
|
- |
если зависимые, |
то Р(АВ)=Р(А)Р(В/А); |
|
вероятности: Р(А) - |
^ Р ( Н })Р(А / Н{) . |
||
|
- если независимые, то Р(АВ)—Р(А)Р(В). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ы |
|
|||
|
|
6. |
Вычислите все |
вероятности событий, входящие в |
|
|
|
||
|
|
6. Примените |
формулу |
Байеса: |
|||||
|
|
формулу, и вероятность искомого события по формуле. |
|||||||
|
|
|
Р(Н,/ А) = Р{Н,)Р(А1П,) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р{А)
Вычисление вероятности в схеме Бернулли Тип 1. Определить вероятность
1. Сформулируйте испытание. того, что при п независимых
2.Сформулируйте событие А. испытаниях событие А произойдет
Найдите |
его |
вероятность |
и |
ровно т раз: Р г (т) - ? |
|
|
|||
вероятность |
|
противоположного |
|
|
|
|
|
||
события. |
|
|
|
п < 10 : PrXm ) = C ”pmq"~m |
■ф ормула |
Бернулли |
|||
3. |
Проверьте схему Бернулли: |
п > 10 : |
|
|
|
|
|||
проводится п испытаний, каждое |
Л = п р < 10 |
Л> 10 |
|
|
|
||||
испытание имеет два исхода, |
|
|
|
|
|
||||
вероятность |
появления события |
в |
рп(т)х ^ е~ |
Ря(т) I |
1 |
е 2 |
т - п р |
||
каждом испытании постоянна. |
|
т\ |
|
/2я- yjnpq |
Jn p q |
||||
4. |
Выпишите данные, которые есть |
ф ормула П уассона формула |
М уаера ~ Л апласа |
||||||
взадаче, определите тип.
5.В зависимости от типа смотрите схему.
Тип 2. |
Определить вероятность |
Тип |
3. |
Определить |
||||||
того, |
что |
|
при |
п независимых |
наивероятнейшее |
число |
||||
испытаниях |
|
событие |
А |
появления события А. |
||||||
произойдет |
|
от |
т1 до т , |
раз: |
|
|
|
|||
Рп{т1<т< т2) - ? |
|
используй |
неравенство: |
|||||||
~ если |
|
|
маленький |
-> |
n p - q < m 0 < пр +р |
|||||
Pn{mi <т< т2) - |
ТПо |
|
|
|
|
|||||
£ Рп(т) |
|
|
|
|
||||||
—если |
|
|
большой —> |
|
|
|
|
|||
|
|
<т<т2) =Ф(У- Ф(0 |
|
|
|
|||||
, |
= |
Ь —пр |
, |
а ~пр |
|
|
|
|
||
t2 |
. |
--, |
ty |
- -------- |
|
|
|
|
||
^fnpq
Индивидуальное задание № 7
Решить следующие задачи, подробно описывая каждый этап решения в соответствии с предложенными алгоритмами.
Вариант № 1,
1)В кассе осталось 5 билетов по 100 руб., три - по 300 рублей и два - по 500 руб. Покупатели наугад берут 3 билета. Найти вероятность того, что из этих билетов имеют одинаковую стоимость два билета.
2)Тестирование ребенка при поступлении в школу состоит из трех вопросов. Вероятность, что ребенок ответит правильно на один вопрос равна 0,3. Найти вероятность того, что ребенок ответит хотя бы на два вопроса.
3)К кладу ведут три дороги. Вероятность погибнуть на первой дороге равна 0,4,
на второй - 0,7, на третьей - 0,8. Найти вероятность того, что ковбой доберется до клада но одной из них при условии, что дорога выбирается им наудачу.
4)При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?
Вариант № 2.
1)В розыгрыше кубка по футболу участвуют 16 команд, среди которых 5 команд первой лиги. Все команды по жребию делятся на две группы по 8 команд. Найти вероятность того, что все команды первой лиги попадут в одну группу.
2)Известно, что при каждом измерении равновероятны как положительная, так
иотрицательная ошибка. Какова вероятность того, что при трех независимых измерения все ошибки будут положительными?
3)В скачках участвуют три лошади. Первая лошадь выигрывает скачки с вероятностью 0,5, вторая — 0,2, третья — 0,4. Какова вероятность того, что лошадь, на которую поставил игрок, придет на скачках первой, если он выбирает ее наудачу?
4)Вероятность того, что деталь не пройдет проверку на качество, равна 0,2. Какова вероятность того, что из 400 случайно отобранных деталей окажутся бракованными 80 деталей?
Вариант № 3,
1)В группе из 25 человек трое занимаются армрестлингом, 10 - бодибилдингом, 5 - кикбоксингом, остальные — пауэрлифтингом. Какова вероятность того, что среди трех наугад вызванных спортсменов: один занимается армрестлингом, а другие два - кикбоксингом?
2)Вероятность того, что ребенок пройдет первый конкурс отборочного тура в
музыкальную школу, равна 0,9, второго конкурса - 0,85 и третьего - 0,8. Какова вероятность того, что ребенок выиграет не менее двух конкурсов?
3) Три студента — Дима, Егор и Максим — на лабораторной работе по физике производят 25, 35 и 40 % всех измерений, допуская ошибки с вероятностями 0,01, 0,03 и 0,02 соответственно. Преподаватель проверяет наугад
выбранное измерение и объявляет его ошибочным. Кто из трех студентов вероятнее всего сделал это измерение?
4) В страховой компании застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность наступления страхового случая в течение года составляет 0,006. Найдите вероятность того, что компания за год выплатит страховку 100 клиентам.
Вариант № 4.
1)Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно 2 дамы, 1 бубновая карта и
1пиковая карта?
2)Вероятность сдачи рекламного проекта в срок одной группой специалистов
равна 0,9, а второй группы - 0,95. Какова вероятность, что, хотя бы одна группа не выполнит проект в срок, если группы работают независимо друг от друга?
65