S (6) = (4 • 63 + (20 - б)3) = 864 + 2744 = 3608 (тысяч рублей);
S (7) = (4 ■73 + (20 - 7)3) = 1372 + 2197 = 3569 (тысяч рублей).
IV . Ответ. Искомая сумма 3569 000 рублей.
Задание № 6.3. Вам поручается исследование 100 анкет детей и выделяется на это 10000 рублей. Но из этой суммы вычитается 400 рублей за каждый час исследования. Вы заключаете договор с образовательным центром, но которому
,, |
кол-во анкет |
они получают премию в lOOv рублей, где |
v = --------------------- - скорость |
|
час |
исследования. При какой скорости Вы получите максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?
п.2. Задачи , реш аемые с помощью линейны х неравенств
Пример № 6.4. Вы купили здание и собираетесь открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 27 м2 и номера «люкс» площадью 45 м2. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 981 м2. Вы можете распределить эту площадь под номера, как хотите. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб. / сутки, а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму Вы сможете заработать в своем отеле?
I. |
А нализ условия и поиск решения. |
1. |
В условии задачи речь идет о двух объектах - «стандартные номера» и |
«номера люкс», которые связаны суммарной площадью. Введем переменные:
х- количество номеров площадью 27 м2,
у- количество номеров площадью 45 м2.
2. По условию, х номеров площадью 27 м2, и у номеров площадью 45 м2, не должны превышать 981 м2. Математически это запишется так:
27т + 4by < 981 —» Зт + 5у < 109.
3. Общая прибыль будет складываться из суммы 2000т + 4000у . Прибыль
будет наибольшей и при значении s = (т + 2»)
Необходимо найти при каких х и у эта сумма будет максимальной.
II. |
Реш ение. |
{Такой тип |
задачи решается с помощью специальных |
|
методов и относится к разделу «линейное программирование»}. |
||||
1) |
|
(Зт + 5у<109, |
|
|
Рассмотрим систему 1 |
Сделаем замену переменных |
|||
|
|
[s - х + 2у. |
|
|
|
|
(x = s - 2 y |
(x = s - 2 y , |
|
|
|
|3 (s - 2 у) + 5у < 109 [3s< у +109. |
||
2) |
Анализируя последнее неравенство 3s < у +109 |
можно сделать вывод, что |
||
чем больше у, тем больше s. |
|
|
||
3) |
Сколько останется свободного |
пространства, |
если все номера сделать |
|
«люксами»? Поделим 981 |
м2 на 45 м2, получим 981 = 45*21 + 36, для получения |
|||
наибольшей прибыли необходимо открыть 21 номер «люкс» и один стандартный, которые будут приносить Вам доход 2000 • (1 + 2 • 21) = 86 тыс. руб. в сутки. При этом останется 9 м2 незанятого пространства.
46
4) Уменьшим на 1 количество номеров «люкс»: 981 = 45*20 + 27*3. Подсчитаем Вашу прибыль в сутки, если в отеле 20 номеров «люкс» и три
стандартных номера, незанятого пространства не остается: |
2000 • 3 + 4000 ■20 = 86 |
||||||
тыс. руб. |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
Уменьшим |
еще |
на |
один |
количество |
номеров |
«люкс»: |
981 = 45 |
*19 + 27 • 4 +18. |
Как |
видим, |
незанятого пространства осталось 18. |
|||
Ожидаемая прибыль: 2000 • 4 |
+ 4000 • 19 = 84000 руб. соответственно меньше. |
||||||
IV. |
Ответ. В отеле должно быть как можно больше номеров «люкс» и тогда |
||||||
ожидаемая прибыль будет 86 |
000 руб. |
|
|
|
|
||
Задание № 6.5. В коллективе 46 человек: 34 мужчины и 12 женщин. Их необходимо распределить по двум группам численностью 22 и 24 человека, так чтобы в каждой группе была хотя бы одна женщина. Каким должно быть распределение по группам, чтобы сумма чисел, равных процентным долям женщин в первой и второй группах, была наибольшей?
Пример № 6.6. Мебельная фабрика выпускает три вида мягкой мебели - диваны, кресла и пуфики. Производственные мощности фабрики позволяют выпускать в день 60 диванов или 150 кресел, или 350 пуфиков. По требованиям к ассортименту, которые предъявляют торговые сети, диванов должно выпускаться не менее 25 шт., пуфиков не менее 40 шт., а кресел ровно в два раза больше, чем диванов. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена фабрики за
Вид изделия |
Себестоимость, 1 шт. |
Отпускная цена, за 1 шт. |
||
диван |
9000 |
руб. |
12600 руб. |
|
кресло |
4000 |
руб. |
5950 |
руб. |
пуфик |
1250 |
руб. |
2000 |
руб. |
Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), определите, сколько изделий каждого вида следует выпускать фабрике ежедневно, чтобы ее прибыль была как можно больше?
Решение.
I.А нализ условия и поиск решения.
1.По условию задачи речь идет о трех взаимосвязанных объектах: количестве каждого вида мягкой мебели, производственные мощности фабрики на выпуск одной продукции, прибыль от реализации каждого вида продукции.
2.Введем обозначения:
х- число выпускаемых фабрикой диванов (х > 25);
у- число выпускаемых фабрикой пуфиков (у > 40).
2х - число выпускаемых фабрикой кресел.
3. Опишем математически производственные мощности фабрики:
На выпуск одного дивана затрачивается — производственной мощности;
|
60 |
|
1 |
на выпуск одного пуфика------- ; на выпуск одного кресла - |
|
150 |
350 |
Сумма производственных мощностей, |
затрачиваемых на выпуск х диванов, |
2х кресел и у пуфиков не может превосходить полной мощности фабрики, т.е.
х |
2х |
У < 1 . |
---- 1------- h |
||
60 |
150 |
350 |
47
4. Прибыль всей фабрики будет вычисляться как сумма прибыли от каждой единицы товара. Опишем математически прибыль фирмы от реализации каждого вида товаров.
(12600 —9000) ■х —3600а; - прибыль от реализации диванов, (5950 —4000) • 2х = 3900а; - прибыль от реализации кресел,
(2000-1250) • у = 750г/ - прибыль от реализации пуфиков.
Прибыль от всей продукции будет вычисляться по формуле:
|
|
|
|
S = ЗбООаг + 3900z + 750у |
|
> |
S = 750 ■(10с + у) . |
||||||||
Задача свелась к нахождению натуральных х и у, удовлетворяющие системе |
|||||||||||||||
условий: |
|
|
|
|
S = 750 • (10а; + у) -» max |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
*60 + 150 + 350 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а: > 25, у > 40. |
|
|
|
|
|||||
II. |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Преобразуем правую часть второго неравенства: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
х |
2а; |
|
т |
|
Зх |
|
у |
105а; + Юг/ |
||
|
|
|
|
|
60 |
150 |
350 |
100 |
350 |
3500 |
|
||||
2. |
Упростим второе неравенство и выразим у через х: |
|
|||||||||||||
|
|
х |
|
2х |
ш |
|
1 |
-> |
|
1ПК |
, 1П . |
|
3500-105а; |
||
|
|
— + ------1------<1 |
|
|
105а; + Юг/^ 3500 —> у |
< --------------- . |
|||||||||
|
|
60 |
150 |
350 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
3. Из условия у > 40 найдем область допустимых значений переменной х: |
|||||||||||||||
|
|
3500 - 105а; > 40 |
|
3500 - 105а; > 400 -> -105а; > -3100 х < 29,52 . |
|||||||||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Переменная х принимает только целые положительные значения, т.е. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 < х <29. |
|
|
|
||
5. По формуле у < ------—---- - |
можем найти соответствующие значения у. |
||||||||||||||
6. |
По формуле S = 750 • (10а; + у) можем найти прибыль. Без потери смысла |
||||||||||||||
можем находить прибыль по более упрощенной формуле § |
= 10х + у . |
||||||||||||||
7. Представим в таблице расчеты_____________________ |
|||||||||||||||
X |
|
у = “3500-105а;' |
- целая часть числа |
|
S ~ 10ж + у |
||||||||||
х1= 25 |
|
|
ю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ожидаемая прибыль |
|
у = "3500-105а;" = '3500-105-25' |
= [87,5] = 87 |
S, = 10 • 25 + 87 = 337 |
|||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
ю |
|
|
|
|
|
х2 = 26 |
|
'3500-105® |
|
|
'3500-105 -26' = [77] = 77 |
Sx = 10 • 26 + 77 = 337 |
|||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
* ,= 2 7 |
у = “3500-105а;' = "3500-105-27' = [66,5] = 66 |
= 10-27 + 66 = 336 |
|||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
х4 = 28 |
У = |
"3500 -105а;" = "3500 - 105•28" =[56]= 56 |
S4 = 10 • 28 + 56 = 336 |
||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
жб - 29 |
У = |
'3500 -105®' = |
'3500-105-29' |
= [45,5] = 45 |
SB =10-29 + 45 = 335 |
||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
48
5. Сравнивая между собой значения Sly S2) S.^ SA, Sb) видим, что наибольшее
возможное значение равно 337 и достигается при х=25, у=87 и ж—26, у=77.
III.Ответ. Оптимальных производственных планов два:
-диванов 25 штук, пуфиков 87 штук, кресел 50 штук;
-диванов 26 штук, пуфиков 77 штук, кресел 52 штуки.
Задание № 6.6. Средство для очистки пола оценивают по следующим трем показателям: очищающие свойства, дезинфицирующие свойства, раздражающее воздействие на кожу. Каждый из этих показателей оценивается по шкале от 0 до 100 единиц. Фирма планирует выпуск на рынок новой марки очистителя, который будет является смесью трех компонент - А, В, С. В данной ниже таблице приведены характеристики каждой из этих компонент. Вы хотите, чтобы новый очиститель по каждому из показателей имел не менее 70 единиц. В какой пропорции следует смешать компоненты А, В, С, чтобы раздражающее воздействие на кожу такого очистителя было минимальным?
Вид компоненты |
Очищающие |
Дезинфицирующие |
Раздражагощее |
|
свойства |
свойства |
воздействие |
А |
90 |
60 |
60 |
В |
70 |
80 |
50 |
С |
50 |
40 |
30 |
Индивидуальное задание № 6
Решить следующие задачи, подробно описывая каждый этап решения Вариант № 1. Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными
количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?
Вариант № 2. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Вариант № 3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Какого будет это наименьшее расстоянию?
Вариант № 4. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка, через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
49
В ариант № 5. Предприятию поручается погрузка 100 стаканов и выделяется на это 1000 рублей. Но из этой суммы вычитается 40 рублей за каждый час погрузки. Предприятие заключает договор с бригадой грузчиков, по которому
^ |
кол - во сташнов |
они получают премию в 10 v рублей, - |
v = ------------------------- скорость погрузки. |
|
час |
При какой скорости предприятие получит максимальную прибыль, и какова величина этой прибыли?
Вариант № 6. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?
Вариант № 7. Жительница деревни выращивает огурцы на собственном приусадебном участке. Затем весь урожай огурцов она реализует на городском рынке. Известно, что рыночная цена на огурцы установилась на уровне 20 рублей
за 1 кг. Зависимость общих издержек выращивания огурцов (С) от количества
I
выращенных огурцов (Q) задается следующей функцией: C(Q) = 4 + 12Q + —Q2.
О
Сколько килограмм огурцов нужно собрать с участка, чтобы получить максимальную прибыль?
В ариант № 8. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каледом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Вариант № 9. Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Все остальные ресурсы остаются постоянными. Еженедельный выпуск продукции Q(j.ut.) зависит от количества нанятых рабочих L (чел.) следующим образом: Q(L) = -3L2 + 606L . Недельная
ставка заработной платы каждого нанятого рабочего равна 120$. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке по цене 20$ за единицу товара. Если фирма нанимает работников на конкурентном рынке, то сколько рабочих необходимо нанять владельцу, чтобы получить максимальную прибыль? Какое количество продукции в неделю произведут эти работники?
Вариант № 10. Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25 % превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн руб., контейнера типа В - 5 тонн и 7 млн руб. соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.
50