Материал: Компьютерные преступления. Остапенко Г.А., Дешина А.Е

• S> 0 — три вещественных корня;

• S = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный;

• S< 0 — один действительный корень и пара комплексно сопряженных.

Следовательно, при S> 0 получаем 3 вещественных корня :

где

Данные корни будут определять 3 поправки

Минимальная и максимальная поправки определяют максимумы функции риска, что видно из рис.5.2, иллюстрирующего данный случай. Минимум же определяет поправка, которая находится между минимальной и максимальной поправками.

Рис.5.2.Интегральная оценка риска РКС, состоящей из двух компонентов и имеющей три экстремума

Возможен случай, когда расстояние между модами рисков двух компонент РКС невелико (рис.5.3). Для данного случая выполняется условие S = 0  и уравнение производной риска будет иметь один вещественный корень, который попадает в интервал .

Корень уравнения при этом равен одному из корней:

Рис.5.3. Интегральная оценка риска РКС, состоящей из двух компонентов и имеющей один экстремум

Рассмотрим случай, когда система состоит из n компонентов.

При этом первый максимум смещается вправо в результате действия поправок от других компонент.

При этом поправкиможно определить как:

При этом на максимум влияют только min( ).

Для второго максимума первый максимум сдвигает его влево, остальные вправо.

В результате получаем, что:

Для i>2 поправки имеют следующий вид.

Тогда для i-го компонента получаем:

При этом для ущерба, аналогично поправкам определяем знак поправки, следующим образом:

Для случая асинхронных атак, атака на отдельный компонент РКС не влияет на работоспособность другого компонента системы, а риск распределенной системы в целом определяется как сумма рисков компонент и, следовательно, компоненты можно рассматривать как независимые.

Таким образом, ущербы, определяющие максимумы риска, выражаются следующим образом:

Введем обозначение

Для удобства данные поправки можно записать в виде матрицы:

Сумма элементов в i-ой строке определяет поправку для моды ущерба i-го компонента.

3. Оценкаэкстремумов интегрального риска инцидентов реализации неправомерного доступак компьютерной информации в распределенных компьютерных системах

Проведем оценку общего риска неправомерного доступа к компьютерной информации применительно к распределенной КС. Т.к. синхронные атаки на РКС маловероятны, проведем оценку интегрального риска для асинхронных атак. Применительно к логнормальному распределению выражение для риска имеет вид:

Для начала найдем риск системы, состоящей из 2-х элементов. Запишем выражение для риска:

Рис. 5.4.Интегральная оценка рисков для РКС, состоящей из 2-х компонентов

Максимумы рисков РКС определяются значениями мод рисков для каждой из компонент. На графике видно, что максимумы риска компонент отличны от максимумов системы.

Для нахождения максимумов компонент необходимо найти производную интегрального риска.

Рис. 5.5. График производной интегрального риска для РКС из 2-х компонентов

Для нахождения максимумов и минимумов риска необходимо приравнять производную к нулю. На графике видно, что получившееся уравнение имеет три корня.

Экстремумы интегрального риска определяются выражением:

_,

где - поправки, вносимые в решение компонентами.

В этой точке производная равна нулю. Имеем:

Разложим экспоненту в ряд Маклорена до второго члена. Как известно, ряд Маклорена для экспоненты абсолютно сходится при любых значениях аргумента. Имеем:

Раскрыв скобки и сгруппировав множители относительно степеней x, имеем:

Таким образом, получается вектор координат ущербов, при которых функция суммарного риска имеет максимум:

Рассмотренный выше случай предполагает, что кубическое уравнение имеет три вещественных корня. Если же решение уравнения имеет один корень, то два максимума объединяется в один. Для совпадающих максимумов в i-1 и i компонентах вектор будет иметь следующий вид:

Итоговую поправку для минимума, используя данный подход определить, не представляется возможным, поэтому для их нахождения можно использовать численные методы, например метод Ньютона.

Заменим переменные:

;

Имеем уравнение 3-й степени:

Пусть

Определим величины p и q как:

Тогда по формуле Кардано решением для уравнения

является

Общее число корней данного уравнения определяется выражением:

Имеем, что уравнение имеет 3 корня при D>0. Первый корень определяется по формуле (2), а два других дает равенство, полученное делением уравнения (1) на (t-t1). Т.о. имеем:

Корнями полученного квадратного уравнения являются:

Соответственно, поправка, вносимая в первое решение вторым компонентом, определяется следующим образом:

Поправка, вносимая во второе решение первым компонентом, находится

где - поправка, вносимая первым компонентом во второе решение.