Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

130

			2	x				dx
m		d		x	kx r			dx	,
m		dt		2	kx r			dt	,
				2

2	x			r dx		k
d	x			r dx		k	x 0.
dt	2			m dt		m	x 0.
	2

Обозначим ω0			k		и
Обозначим ω0			m		и
			m

									Рис. 16.5
	r	2β	,						Рис. 16.5
	m	2β


β – коэффициент затухания;

				2	x		dx
				d	x	2β	dx	2
					2	2β		ω x 0	(16.7)
				dt	2		dt	0	(16.7)
				dt			dt

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.

1. Сильное затухание (β ≥ ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

			0				0
	β	2	2	t		2	2	t
x t A e	β	β	ω	t	A e	β β	ω	t
x t A e					A e
1					2

– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальных условий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.

Рис. 16.6

2. Слабое затухание (β < ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

41 Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическое уравнение.

			131

	x t A e		βt	cos ωt φ		,
	x t A e			cos ωt φ
	0
где

		ω	ω β
				2	2
				0

– циклическая частота затухающих колебаний.

(16.8)

Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальных условий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

Амплитуда затухающих колебаний

A t A e	βt
A t A e
0

;

период затухающих колебаний

T	2π	2π	.


	ω	ω02 β2

С другими характеристиками свободных затухающих колебаний познакомимся во II семестре (РАЗДЕЛ 3.13.2).

График решения (16.8) при φ = 0 показан на РИС. 16.7.

Рис. 16.7

Демонстрация: Маятник с песком

132

Лекция 17

1.14.4. Вынужденные колебания

Пружинный маятник – механическая система, описанная в РАЗДЕЛЕ 1.14.2, при наличии сопротивления, находится под воздействием, описываемым периодической силой

F F0 cosΩt ,

Ω – циклическая частота вынуждающей силы. Сила

(РИС. 17.1).

направлена горизонтально

m k

O	x

Рис. 17.1

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр

В проекции на ось x

	2	x
m	d	x
m	dt	2
		2

	kx r	dx
	kx r	dt
		dt

F0 cosΩt

так как Fупр x = –kx,

Обозначим	k	2
Обозначим	m	ω0
	m

Fсопр x = –rvx. Получим

2	x	r	dx
d
dt	2	m dt

,	r	2β и
	m

F0 m

k m

;

	F	cosΩt
	0	cosΩt
	0
	m

2	x		dx
d	x	2β	dx	2		cosΩt
	2	2β		ω x f	0	cosΩt	(17.1)
dt	2		dt	0	0		(17.1)
dt			dt

– дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение – сумма общего решения однородного уравнения (16.7) и частного решения неоднородного уравнения (17.1) (ищем решение при слабом затухании – β < ω0)

x t x1

общее решение ОДУ

x1 t A1e

t x2 t ;

частное решение НДУ

βt cos ωt φ ;

133

x	2	t
	2

A2 cos Ωt

φ
0

(17.2)

Здесь

ω β
2	2
0

; A1 и φ – постоянные интегрирования; A2 и φ0 найдём подста-

новкой решения (17.2) в дифференциальное уравнение (17.1).

Общее решение x1(t) быстро затухает. В результате циклическая частота вынужденных колебаний будет равна циклической частоте Ω вынуждающей силы.

Производные функции x2(t)

dx2	A Ωsin Ωt φ		,	d2x	A Ω2 cos Ωt φ		.
dt	2	0		dt2	2	0

Подставим эти производные в исходное дифференциальное уравнение (17.1):

2		2βΩA sin Ωt φ		2
Ω A cos Ωt φ		2βΩA sin Ωt φ		ω A cos Ωt φ
2	0	2	0	0	2	0

f	0	cosΩt
	0

(17.3)

Это равенство должно соблюдаться при любом t, в т. ч. тогда, когда cos (Ωt + φ0) = 0 либо sin (Ωt + φ0) = 0. Преобразуем правую часть уравнения (17.1):

f0 cosΩt f0 cos Ωt φ0	φ0 f0	cos Ωt φ0 cosφ0	sin Ωt φ0	sinφ0	.

Подставим это выражение в (17.3) и приравняем нулю сначала cos (Ωt + φ0), а за-

тем sin (Ωt + φ0):

	2		2		f	cosφ	,
Ω		A ω A
		2	0	2	0	0
	2βΩA f			sinφ .

		2	0		0

(17.4)

Разделив нижнее равенство на верхнее, получим

tgφ	2βΩ
tgφ	2	2
0	2	2
	ω	Ω
	0

Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы на φ0.

Найдём амплитуду A2 вынужденных колебаний из первого уравнения системы

(17.4):

A	f	cosφ		f			1		f				1					f			,
A	0		0		0					0									0		,
	0		0		0					0									0
2		2	2	2		2			2		2	1				0
	ω Ω			ω Ω			2		ω		Ω	1	2	2		0		2		2	2
	ω Ω			ω Ω			2	φ	ω		Ω		2	2		2		2	2	2	2
		0		0			1 tg	φ	0				4β Ω			ω	Ω			4β Ω
								0					0			ω	Ω			4β Ω
													0
													ω	Ω	2
													2	2

A			f	0			.	(17.5)
A

2	0
	2	Ω	2	2	2	Ω	2
	ω	Ω			4β	Ω

Исследуем зависимость A2(Ω). Значения функции на границах области определения

				A		0		f0		,	A	0.
				A		0				,	A	0.
					2			ω2			2
								0
Функция (17.5) должна иметь максимум. Условие экстремума
					1							2
					1		2		ω2		Ω2 2 Ω 8β2Ω2
dA									0
dA	0					2							0
2		f	0											,
dΩ		f					ω2		Ω2 2 4β2Ω2 3 2					,
dΩ							ω2		Ω2 2 4β2Ω2 3 2
								0

134

2β	Ω Ω ω0	Ω	0	Ω 2β		ω0	Ω	0	;
2	2	2			2	2	2

при Ω = 0 функция A2(Ω) имеет минимум, а при

Ω		ω 2β
		2	2
	рез	0

(17.6)

– резонансной циклической частоте – максимум. Имеет место резонанс – резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной циклической частоте.

Графики зависимостей A2(Ω) – резонансные кривые – при разных коэффициентах затухания изображены на РИС. 17.2.

β = 0

β1

β2 < β1

Ωрез ω ω0

Рис. 17.2

Из формулы (17.6) и РИС. 17.2 видно, что Ωрез < ω < ω0. При β → 0 A2 → ∞ – амплитуда вынужденных колебаний в системе без затухания неограниченно возрастает.

1.15. Механические волны

1.15.1. Уравнение бегущей волны

Волна – любое распространяющееся в пространстве возмущение, т. е. изменение какой либо физической величины с течением времени.

	 A	 B
0	x1	x2	x
		Рис. 17.3

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

Смотрите также:








Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал