Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 155-160

146

Лекция 19

3.2.2. Закон Кулона. Расчёт напряжённости электрического поля методом суперпозиции

Закон Кулона: сила взаимодействия двух точечных зарядов

F12	q q		r12
	1	2

	4πε		r	3

		0	12

(см. РИС. 19.1; на этом рисунке заряды q1 и q2 одного знака).

q1
q1	q2	q
		q

Рис. 19.1

Рис. 19.2

Напряжённость электрического поля точечного заряда

E	q	r
E	4πε	r	3
			3

	0

.

Силовые линии электрического поля точечного заряда представлены на РИС. 19.2.

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды (или заряды другой формы, поле которых легко рассчитать) и затем просуммировать (проинтегрировать) напряжённости полей этих зарядов.

ПРИМЕРЫ
1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца			z
1) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого кольца
По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0
(РИС. 19.3). Найти E z (z – ось кольца).
Находим напряжённость электрического поля в точке A на
оси кольца (OA = z). Разобьём кольцо на точечные заряды dq
(на РИС. 19.3 показаны два малых заряда dq и dq′, равные по			A
модулю и расположенные диаметрально противоположно).			θ
По принципу суперпозиции полей			θ
По принципу суперпозиции полей			dq′
E	dE ,	Q	dq′
		Q
			R


dE – напряжённость электрического поля малого заряда dq.			O
Векторы напряжённости электрического поля каждого из			dq
этих зарядов одинаковы по модулю (если одинаковы по мо-			dq

дулю все заряды dq) и направлены так, что концы этих век-		Рис. 19.3
торов образуют конус с вершиной в точке A (на	РИС. 19.3

штриховой линией показано основание этого конуса). Проекции этих векторов на

147

плоскость кольца компенсируются, поэтому суммарный вектор вдоль оси z:

E Ez (при z > 0).

Вычислим Ez. Напряжённость поля точечного заряда

	dE
dE	dq
dE	4πε r	2
		2

	0

		dq
		4πε
		4πε
		0

, dEz

r		;
r	3	;
	3

		dq
4πε r			2
4πε r
		0

cosθ

,

E

направлен

угол θ показан на РИС. 19.3. Величины r и θ одинаковы для всех элементов dq:

		r		R	2	z			2		,
					2				2
cosθ			z						z				.
cosθ			r			R				z			.
			r			R		2		z			2
								2					2
Подставим эти формулы в выражение для dEz:
dE				dq z										.
dE	z		0											.
	z						2	z				2	3 2
		4πε				R	2					2
		4πε				R

В этом выражении все величины – постоянные, кроме dq. Проинтегрируем по q:

	Q	dq	z					Qz
Ez		dq	z					Qz					.
Ez	0												.
	0						0
			2	z	2	3 2			2	z	2	3 2
	0 4πε	R	2		2		4πε	R	2		2
	0 4πε	R					4πε	R

Предельные случаи

а) z = 0 E = 0.

б) z → ∞ E = 0.

в) z >> R E		Qz
в) z >> R E	z	4πε z	3
	z		3

		0

	Q
		2
	4πε z	2
	4πε z
	0

– поле точечного заряда.

2) Электрическое поле равномерно заряженного тонкого прямого стержня

Тонкий стержень длиной AB = l имеет заряд Q > 0, равномерно распределённый по длине стержня. Найти напряжённость электрического поля в точке, находящейся на перпендикуляре к стержню, проходящем через его середину, на расстоянии b (точка C на РИС. 19.4).

Разобьём стержень на малые отрезки, имеющие малый заряд dq. Напряжённость поля точечного заряда

dE 4dqπε0

по принципу суперпозиции полей

E dE

rr3 ,

.

148

A

O ·		α	α0
		α	x
			x
dq	dα		dα
dq
dl
		rdα

B	Рис. 19.4

Суммарный вектор напряжённости электрического поля будет направлен перпендикулярно стержню, так как вследствие симметрии распределения заряда

проекции

dE

на направление стержня компенсируют друг друга. Поэтому

		E Ex .
Найдём Ex:
dE	x	dE cosα dq cosα	,
	x	4πε r2
		0

угол α показан на РИС. 19.4. Это выражение нельзя интегрировать, так как в нём присутствуют три зависящих друг от друга переменные: q, r, α. Свяжем их друг с другом; для интегрирования будет удобнее всё выразить через α.

Расстояние от элемента dq до точки C

r cosb α .

Выразим заряд dq. Этот заряд занимает участок стержня длиной dl,

dq τdl ,

τ – линейная плотность заряда стержня. Так как стержень заряжен равномерно,

τ Ql .

Выразим длину элементарного отрезка dl через угол dα, под которым этот отрезок виден из точки C:

dl	rdα	bdα	.
	cosα	2
		cos α

149

Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:

			Q		2			Q
dE			Q	bdα cos α cosα				Q	cosαdα .
dE	x		4πε l		2	2		4πε lb	cosαdα .
			4πε l		cos α b			4πε lb
				0				0
Проинтегрируем по α:
		α	Q			Q		α0		Qsinα0
		0	Q			Q				Qsinα0
Ex					cosαdα		sinα
Ex			4πε lb		cosαdα	4πε lb	sinα			2πε lb
		α0	4πε lb			4πε lb		α		2πε lb
		α0		0		0		α		0
								0

(стержень виден из точки C под углом 2α0). Из РИС. 19.4

sinα0

l

;

2

l

2

l

4b

4

b

E

Ql

Q

.

2πε lb l2

4b2

2πε b l2

4b2

0

Предельные случаи

а) b >> l E		Q
а) b >> l E	2πε b 2b
	2πε b 2b
		0
б) b << l E		Q
б) b << l E		2πε bl
		2πε bl
		0

гим способом ПОЗЖЕ.

		Q
		4πε
		4πε
		0
		τ
	2πε b
		0

2	– поле точечного заряда.
2
b

– поле длинной нити. Эту формулу мы получим дру-

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

Элементарный поток

				dΦ EdS	,
					,
α	dS направлен по внешней46 нормали к малому участку dS;
·			dΦ EdS cosα
			dΦ EdS cosα
S	(см. РИС. 19.5).
	(см. РИС. 19.5).
	Полный поток вектора E сквозь поверхность S
Рис. 19.5
Рис. 19.5				Φ EdS	.
				Φ EdS	.
				S
		E
Теорема Остроградского-Гаусса для		E	: поток вектора напряжённости электри-
Теорема Остроградского-Гаусса для			: поток вектора напряжённости электри-

ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

		.
EdS	q S	.
S	ε0

46 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.

150

Доказательство47 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

	E	q
	E	4πε
		4πε
		0

r
r	3

.

S

q	α
q
	dΩ
	а

q	dΩ	α
q

б
Рис. 19.6
Элементарный поток
dΦ EdS	qcosα		dS
dΦ EdS	4πε r	2	dS
		2

	0

.

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

dΩ	dS		dS cosα
	r2		r2

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

	4π
		qdΩ
Φ EdS
S	0	4πε
		0

q 4π q

4πε0 ε0

.

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

E Ei

,

47 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: