Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

151

Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать зада-

чу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.

ПРИМЕРЫ

1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы

48 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.

152

Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)

Теорема Остроградского-Гаусса:

Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфе-

ре (РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,

так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому

EIIr 0.

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.

При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.

153

Er

Рис. 19.8

2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r – расстояние от нити до точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 19.9) и произвольной вы-

соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направ-

Er dSбок Er Sбок Er 2πrh.

Sбок

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S τh

– заряд участка нити длиной h. Получим

155

Лекция 20

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)

3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).

σ

C

B A

S

Рис. 20.1

Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса

ната точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой по-

2E dSторц 2ESторц .

Sторц

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S σSторц

– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим

156

По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.

Ex

Рис. 20.2

Демонстрация: Сетка Кольбе

3.2.4. Потенциал

I уравнение Максвелла для электростатического поля

Умножим это уравнение на пробный заряд q0:

– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатиче-

ское поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).

[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4).]

Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:

Wп Aполя A* .

Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:

49 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.