Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 166-171

157

	Отношение	W
	Отношение	п
		п
		q
		0
	ля:

– потенциал;

Wп f q0 ,E .

не зависит от q0 и является энергетической характеристикой по-

φ	W
φ	п	;
	п
	q
	q
	0

[φ] = В.

Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физиче-

ский смысл имеет разность потенциалов

			поля	*
φ	φ φ		A	A
φ	φ φ		1 2	1 2
12	2	1	q	q
			q	q
			0	0

– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Работа электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

	2	1	2	0	0	2
		1		0	0
поля		F dl		q Edl q			Edl
A		F dl		q Edl q			Edl
	1		1			1

разность потенциалов

;

	поля	2
φ12	A	Edl ;
φ12	q0	Edl ;
	q0	1

интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.

Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля

			2			2
	φ			Edl			E		dl		,
	12						l				,
			1			1

1		1				1			l
1			Edl						l
φ			Edl					E		dl
		φ 0			φ 0

– потенциал поля в точке 1. Элементарная работа поля

δAполя F1dl q0 Edl ;

элементарное приращение потенциала

dφ	δAполя	Edl ,
	q
	0

	158

E	dφ	gradφ
E	dl	gradφ
	dl

– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-

ского поля (определение вектора градиента φ	dφ	см. в РАЗДЕЛЕ 1.8.5).
	dl

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.

Так как

E gradφ , вектор напряжённости электрического поля перпендикуля-

рен эквипотенциальным поверхностям.

ПРИМЕР

Потенциал поля точечного заряда

Напряжённость электрического поля точечного заряда q

E

q

r

.

4πε r

3

0

Эквипотенциальные поверхности – сферы (РИС. 20.3).

q

Положим начало отсчёта потенциала в бесконечно уда-

лённой точке: φ(∞) = 0. Интегрирование в формуле инте-

r

гральной связи напряжённости и потенциала проведём

по радиальной прямой:

r

Рис. 20.3

r

q

dr2

q

1

q

φ Edr Erdr

.

4πε

r

4πε r

r

0

Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:

φ	i
	φ

,

φ dφ

.

Доказательство

Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля

E Ei

.

Интегральная связь напряжённости и потенциала

A	A	Ei dl	A	Eidl φi , ч. т. д.
φ	Edl	Ei dl		Eidl φi , ч. т. д.
φ 0	φ 0		φ 0

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость – векторная.

159

ПРИМЕР

1) Поле равномерно заряженного тонкого кольца

По тонкому кольцу равномерно распределён заряд Q > 0 (РИС. 20.4). Найти зависимость потенциала от координаты в точке на оси z кольца: φ(z).

Положим потенциал равным нулю в бесконечно удалённой точке. Разобьём кольцо на малые участки с зарядами dq и воспользуемся методом суперпозиций:

φ

dφ

,

	dφ	dq
	dφ	4πε r
		4πε r
		0

.

	Расстояние r до точки A, где измеряется потенциал одина-	z
	ково для всех элементов dq;	z
	ково для всех элементов dq;

r	R	2	z	2	.
		2		2

Проинтегрируем выражение для потенциала по q:

	Q		dq					Q
φ			dq					Q			.
φ					z					z	.
	0	4πε	R	2		2	4πε	R	2		2
	0	4πε	R				4πε	R
		0					0

A

r z

Q

	Найдём напряжённость электрического поля как функцию z	R
	через дифференциальную связь напряжённости и потенци-	O
	ала:	O
	ала:

E gradφ	dφ	k
	dz

dq

Рис. 20.4

( k – орт оси z), так как в точках на оси z напряжённость

электрического поля направлена вдоль этой оси и может зависеть только от z;

				Q		1		2z
				Q				2z
E		dφ				2					Qz				.
E	z									0					.
	z		0							0
		dz		4πε	R	2	z		2	4πε	R	2	z	2
						2			2			2		2

Этот же результат мы получили РАНЕЕ методом суперпозиции E .

2) Поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Бесконечно длинная прямая нить равномерно заряжена с		τ
линейной плотностью τ (РИС. 20.5). Найти зависимость по-
тенциала электрического поля от расстояния r от нити: φ(r).
Воспользуемся результатом решения ЗАДАЧИ о напряжённо-
сти электрического поля этой системы
Er	τ	r

	2πε r

	0

и интегральной связью напряжённости и потенциала. Начало отсчёта потенциала возьмём в точке O на расстоянии r0 от нити50;

A

r0 O

Рис. 20.5

50 В случае, если заряды располагаются в бесконечно удалённых точках, нельзя взять начало отсчёта потенциала в бесконечности.

160

r	r	τ	dr	τ		r
φ Erdr					ln
		2πε	r	2πε		r
r	r
		0		0		0
0	0

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.6.

φ

.

0	r0	r
	Рис. 20.6
3) Поле равномерно заряженной сферы
Q	Сфера радиуса R равномерно	заряжена зарядом Q
Q	(РИС. 20.7). Найти зависимость потенциала электрическо-
II	(РИС. 20.7). Найти зависимость потенциала электрическо-

	R	го поля от расстояния r от центра сферы: φ(r).
O	R
O		Воспользуемся интегральной связью напряжённости и
		Воспользуемся интегральной связью напряжённости и
		потенциала, полагая φ(0) = 0:

I			r
I	r	A	φ Erdr .	(20.1)
	r	A	φ Erdr .	(20.1)
			0

Разбиваем пространство на две области (см. ПРИМЕР 1 РАЗ-

ДЕЛА 3.2.3).

Рис. 20.7

II. r < R

Напряжённость электрического поля в этой области EIIr = 0. Потенциал

r

φ EIIrdr 0 .

0

I. r > R

Согласно ранее полученному результату, в этой области проекция напряжённости электрического поля на радиальное направление

EIr	Q
		.
	4πε r2
	0

При вычислении потенциала мы идём от центра сферы к точке A (РИС. 20.7), где измеряется потенциал, по радиальной прямой. На разных участках этого пути (отрезка OA) аналитическое выражение Er(r) различно, поэтому интеграл (20.1) приходится разбивать на две части:

R

r

R

r

Q dr

Q 1 r

Q

1

φ EIIrdr EIrdr 0dr

2

.

4πε0 r

R

0

R

0

R

4πε0 r

161

График зависимости φ(r) показан на РИС. 20.8.

φ

II I

0

R

r

Рис. 20.8

Можно построить этот график по графику проекции напряжённости электрического поля (РИС. 19.8). По дифференциальной связи напряжённости и потенциала

			Er	dφ	.
			Er	dr	.
				dr
Там, где	dφ	0	(при r < R), φ = const. В точке r = R график Er(r) имеет разрыв, а
Там, где	dr	0
	dr
график φ(r) – излом. При r > R Er(r) > 0 и убывает, соответственно,						dφ	0	и воз-
						dr	0	и воз-
						dr

растает – кривая φ(r) убывает и вогнутая. При r → ∞ Er → 0 и график φ(r) имеет горизонтальную асимптоту.

Потенциал – непрерывная функция координат! График потенциала никогда не имеет разрывов.

Методы расчёта напряжённости электрического поля

метод суперпозиций	теорема Остроградского-		дифференциальная
	Гаусса		связь и φ
Методы расчёта потенциала электростатического поля
метод суперпозиций		интегральная связь
			и φ

3.3. Электростатическое поле в веществе

3.3.1. Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды

Проводники – вещества, имеющие свободные заряды – заряженные частицы, свободно перемещающиеся по образцу.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: