Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

167

– нормальная проекция поляризованности у поверхности диэлектрика равна поверхностной плотности связанных зарядов.

Демонстрации: 1) Модели диэлектрика

2)Диэлектрик в электрическом поле

3.Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике

а) Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации

ных зарядов. Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю, так как диэлектрик в целом электронейтрален. Поверхностная плотность связанных зарядов во втором слагаемом отличается от σ′ в выражении (21.3) тем, что это плотность зарядов не на внешней границе диэлектрика, а на воображаемой внутренней границе. При напряжённости электрического поля, направленной так, как показано на рисунках 21.2 и 21.3, связанные заряды на внешней границе справа – положительные, а на внутренней – отрицательные. Поэтому направление вектора поляризации фрагмента образца, попа-

извольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком.

б) Теорема Остроградского-Гаусса для E и D

Напряжённость электрического поля в веществе – это напряжённость усреднённого поля, созданного как свободными (напряжённость поля E0 ), так и связанными

( E ) зарядами. Напряжённость поля связанных зарядов направлена против поля свободных зарядов, поэтому E < E0.

Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

168

– теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля в веществе.

– теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток век-

тора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.

D – это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помо-

У всех диэлектриков ε > 1; у полярных диэлектриков эта характеристика больше, у неполярных – меньше.

53 Для изотропных диэлектриков смысл относительной диэлектрической проницаемости – величина, показывающая во сколько раз диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов (см. ПРИМЕР). Задачи на расчёт характеристик электрического поля в изотропном диэлектрике

можно решать и без использования D (вводя ε в формулировку теоремы Остроградского-Гаусса для E ), но мы настаиваем на том, чтобы студенты использовали эту величину и теорему Остро- градского-Гаусса для D .

ства вещества определяются тензором диэлектрической проницаемости

ПРИМЕР

Поле точечного заряда в однородном диэлектрике

Точечный заряд Q > 0 находится в безграничном диэлектрике с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 21.4). Найдём ряд векторных характеристик электрического поля, создаваемого этим зарядом.

Найдём также напряжённость электрического поля свободных и связанных зарядов. Проекция напряжённости электрического поля свободных зарядов на радиальное направление (см. 3.2.2)

170

Так как E E0 E , напряжённость электрического поля связанных зарядов

– поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов. Отношение

– диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз. Демонстрация: Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины

4. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Дивергенция

divE E

Можно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме (21.4), (21.5), (21.7) следует теорема Остроградского –Гаусса в дифференциальной форме:

171

ПРИМЕР

Расчёт объёмной плотности связанных зарядов (см. ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР)

Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядов в диэлектрике как функцию от расстояния r от заряда Q.

РАНЕЕ была получена зависимость поляризованности от r:

Рассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме ОстроградскогоГаусса для P в дифференциальной форме (21.8):