Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 188-193

Плоский

ε

S

d

d << размеров пластин

	C	ε εS
	C	0
		0
		d

ПРИМЕРЫ

177

Конденсаторы

Цилиндрический

R2

εR1

l

R R		l
2	1

C	2πε εl
C		0
		0
	ln	R
	ln	2
		2
		R
		1

Таблица 22.1

Сферический

ε O R1

R2

C	4πε εR R
	0	1	2

	R R
	2	1

1) Расчёт ёмкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком

Имеется плоский конденсатор, площадь обкладок которого равна S, расстояние между обкладками – d, пространство между обкладками заполнено диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε (РИС. 22.7). Найти ёмкость конденсатора.

Q

ε

–Q

Зарядим обкладки конденсатора заря-

дом Q. Найдём электрическое смещение

в пространстве внутри конденсатора с

помощью

теоремы

Остроградского-

Гаусса

A

DdS q

S

,

S

здесь q

S

– сумма свободных зарядов,

S

охваченных

поверхностью S.

Поверх-

ность интегрирования S выберем в виде

d

x

цилиндра, основания

которого

парал-

0

лельны обкладкам конденсатора, один

	Рис. 22.7	из торцов располагается вне конденса-
	Рис. 22.7	тора (за положительно заряженной об-
		тора (за положительно заряженной об-

кладкой), а другой – внутри конденсатора. Вне конденсатора поле отсутствует (это легко показать с помощью принципа суперпозиции полей, воспользовавшись

результатом РАСЧЁТА ПОЛЯ РАВНОМЕРНО ЗАРЯЖЕННОЙ ПЛОСКОСТИ), внутри конденса-

тора оно однородно;

178

DdS

S

D S	торц
x

,

q	S

σSторц

,

σ – поверхностная плотность заряда положительно заряженной обкладки,

σQ S

.

Заметим, что легко найти поток D

мы можем благодаря тому, что пластины счи-

таются большими, т. е. практически бесконечными – мы пренебрегаем краевыми эффектами. Получим

Dx σ	Q	.
	S

Далее, найдём напряжённость электрического поля через связь

D

и E

D ε0εE

E

x

	D		Q
	x
	x
	ε ε		ε εS
	0		0

.

Затем найдём разность потенциалов между обкладками конденсатора, воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:

φ 0 φ d

0

Q

Qd

x

dx

U φ

φ

E

ε εS

d

0

Наконец, по определению ёмкости (22.5)

C

Q

ε εS

0

U

d

– формула, приведённая в ТАБЛ. 22.1. Демонстрация: Плоский раздвижной конденсатор

.

2) Расчёт ёмкости воздушного коаксиального кабеля (цилиндрического конденсатора)

Имеется воздушный коаксиальный кабель (в пространстве между обкладками ε = 1), радиусы обкладок равны R1 и R2 (РИС. 22.8). Найти ёмкость кабеля, приходящуюся на отрезок единичной длины.

Ход решения будет аналогичен ПРЕДЫДУЩЕМУ ПРИМЕРУ. Зарядим обкладки линей- τ –τ ными плотностями τ (внутреннюю обкладку) и –τ (внешнюю обкладку). Так как между обкладками нет диэлектрика, мож-

h	r	но обойтись без D . Теорема Остроградско-
h		го-Гаусса для E
	A	го-Гаусса для E	q S .
	A
		EdS
		EdS
	S	S	ε0
	S	Поверхность интегрирования S выберем в
		Поверхность интегрирования S выберем в
		виде цилиндра, коаксиального (соосного)
	Рис. 22.8	кабелю, произвольной высоты h, много
		меньшей длины кабеля, радиуса r, где r –

расстояние от оси кабеля до точки, в которой измеряется поле. Внутри внутреннего провода (при r < R1) и вне кабеля (при r > R2) поля нет.

Поток

179

E

EdS Er 2πrh,

S

заряд, охваченный поверхностью S, q

S

τh

(см. ЗАДАЧУ О ПОЛЕ ТОНКОЙ ДЛИННОЙ

НИТИ). Получим

E

2πrh τh

E

τ

.

r

ε

2πε r

0

Напряжение на обкладках конденсатора

R

τ dr

τ

ln R2 .

U φ φ φ R1 φ R2 1

Erdr 1

2πε r

2πε

R

0

1

2

Ёмкость, приходящаяся на отрезок кабеля единичной длины,

C		τ	2πε
C		U		0
				0
	1		ln	R
	1
				2
				2
				R
				1

.

3) Расчёт ёмкости сферического конденсатора с двухслойным диэлектриком

Имеется сферический конденсатор, радиус внутренней обкладки которого равен R1, радиус внешней обкладки – R2, заполненный двумя слоями диэлектрика: диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε1 (область I на РИС. 22.9) примыкает вплотную к внутренней обкладке, диэлектрик с относительной диэлектрической проницаемостью ε2 (область II) – к внешней обкладке, радиус границы разделал диэлектриков равен R0. Найти ёмкость конденсатора.

						Зарядим конденсатор: пусть внутренняя обкладка
						имеет заряд Q, а внешняя обкладка – заряд –Q. Элек-
ε2 ε1					–Q	трическое поле существует только		в пространстве
					–Q	между обкладками (R1 < r < R2). Применим теорему


		r	R1			Остроградского-Гаусса для D
I	Q	O	R1			DdS q .
I				R2		DdS q .
		R0		R2			S
							S
						S
						S
II						Выберем поверхность интегрирования S в виде сферы,
						концентричной конденсатору. Поток		D

Рис. 22.9

	DdS Dr 4πr	2	,
		2

S

охваченный поверхностью S свободный заряд равен Q,

Dr 4πr2 Q

D	Q
		2
r	4πr

.

Связь между напряжённостью электрического поля и электрическим смещением

D ε εE E

Dr

c , E

Dr

Q

.

Ir

ε ε

IIr

ε ε

4πε ε r2

0

1

0

2

0

2

Напряжение на обкладках конденсатора

180

									R							R						R							R				Q				dr		R	Q		dr
		φ R		φ R					1							0						1								0			Q				dr		1	Q		dr
U φ	φ	φ R		φ R							E		dr				E	IIr	dr				E		Ir	dr												2					2
			1		2							r						IIr							Ir						4πε ε						r	2		4πε ε		r	2
									R							R						R							R		4πε ε						r		R	4πε ε		r
									R							R						R							R					0	2				R	0	1
									2							2						0								2									0
						R						R
				Q	1	0			1				1			Q				1					1				1						1
				Q	1				1							Q				1					1				1						1
			4πε		ε r			ε r							4πε				ε R					ε R				ε R						ε R
			4πε		ε r	2		ε r					0		4πε				ε R					ε R				ε R						ε R
				0	2	2			1				0				0			2	0				2	2		1			1			1		0
				0	2	R			1			R					0			2	0				2	2		1			1			1		0
						Q			ε R R ε R R ε R R ε R R																							.
											1	1		2	1		0	1			2	0			2		2	1		2		.
											1	1		2	1		0	1			2	0			2		2	1		2
						4πε										ε ε R R R
							0										1	2		0	1	2
Ёмкость конденсатора
						Q									4πε0ε1ε2R0R1R2
					C U																												.
					C U					ε R R ε R R ε R R ε R R																							.
											1		1	2		1	0	1			2		0		2		2	1			2

При ε1 = ε2 = ε этот результат переходит в формулу, приведённую в ТАБЛ. 22.1.

181

Лекция 23

3.4.4. Соединения конденсаторов

1. Последовательное соединение

Последовательное соединение конденсаторов – соединение, при котором конденсаторы соединяются разноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.1 изображена схема батареи из N конденса-

C1

C2

Ci

CN

торов, соединённых последовательно. Заряд каждого

конденсатора равен заряду всей батареи, так как все

Рис. 23.1

обкладки кроме крайних (левая обкладка конденсато-

ра С1 и правая обкладка CN на схеме РИС. 23.1) изолированы и сумма их зарядов равна нулю:

Q Q		Q
1	2	i
Напряжение на i-м конденсаторе

	U	Q
	U	i
		i
	i	C
		C
		i

.

QN

Q

.

Напряжение на батарее есть сумма напряжений на каждом из конденсаторов:

U		i					Q
		i					i
			U

							C
							i
Ёмкость батареи
C	Q			1
C	U				1
	U				1
					C
					C
						i

2. Параллельное соединение

Q		1	.
Q	C		.
	C
		i

1		1
C		C
C		C
		i

.

C1

C2

Ci

CN

Рис. 23.2

Параллельное соединение конденсаторов –соединение, при котором конденсаторы соединяются одноимённо заряженными обкладками.

На РИС. 23.2 изображена схема батареи N конденсаторов, соединённых параллельно. Напряжение на каждом из конденсаторов одинаково и равно напряжению на всей батарее:

U1 U2

Ui

UN U .

Заряд батареи равен сумме зарядов каждого из конденсаторов:

Q Qi CiUi U Ci .

Ёмкость батареи
	Q
C	Q	Ci ,	C	C	i	.
	U		C	C

Нужно соблюдать правила построения электрических схем!

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: