Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

172

Лекция 22

3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)

5. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Проанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды (диэлектрика) в другую.

Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрические проницаемости ε1 и ε2), граничащие друг с другом (РИС. 22.1). В среде с ε1 суще-

ствует электрическое поле с напряжённостью E1 и электрическим смещением

. Свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют. Найдём векторные

характеристики поля в среде с ε2 – E2	и	D2
тельную τ к поверхности раздела сред).

(в проекциях на нормаль n и каса-

ε1		ε1	1	2

ε2		ε2	4	3
S				L
а				б
	Рис. 22.1

1) Dn

Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для

	DdS q	S	.
	DdS q		.
S

Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 22.1А). Поток D

	DdS D	S	торц		DdS D		S	торц
	1n		торц			2n		торц
S				S
				бок
охваченный поверхностью S заряд q 0S 0 , так
нице раздела отсутствуют. Поэтому

					D	D
					2n	1n

D2n D1n Sторц ;

как свободные заряды на гра-

(22.1)

– нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.

2) En

Связь D

поэтому

в изотропном диэлектрике

D ε0εE ,

D1n

С учётом условия (22.1)

173

ε0ε1E1n

, D2n ε0ε2E2n .

ε ε E	ε ε E	2n
0 1 1n	0 2	2n

E		ε
	2n	2

E		ε
	1n
		1

(22.2)

– нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.

3) Eτ

Воспользуемся I уравнением Максвелла – условием потенциальности электростатического поля

Edl 0.

Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 22.1Б), а дру-

гая мала (стороны

2-3 и 4-1).

Edl E	l
	1τ 12

Циркуляция

3
	Edl E			l
			2τ		34
2	0
	0
		E		2τ
		E

E	по контуру L
	1	Edl E				l
		Edl E	1τ	E	2τ	l
			1τ		2τ	12
	4	0
		0
E
E
	1τ

(22.3)

– тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.

4) Dτ

Из связи между

и условия (22.3) получим

D1τ ε0ε1E1τ , D2τ ε0ε2E2τ

D2τ ε1

D1τ ε2

D	D	,
1τ	2τ	,
1τ	2τ
ε	ε
1	2

(22.4)

– тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.

3.3.4. Проводники в электростатическом поле

Свойства электростатического поля в проводниках54

1.Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю:

Eвнутри 0.

В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеются свободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрического поля.

Демонстрация: Клетка Фарадея

54 Следует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в проводниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.

174

2.Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности проводника:

Eτ

E En

Если Eτ ≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.

3.Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:

ρ0 .

Доказательство

Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S (РИС. 22.2). Теорема Остроградского-Гаусса для D

DdS q

Но

D 0

, так как

E 0

поэтому DdS 0

, т. е.

нескомпенсированного заряда внутри проводника нет.

Рис. 22.2

Демонстрация: Стекание заряда с острия 4. Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника):

φ const

Доказательство

Найдём разность потенциалов между точками 1 и 2 на одном проводнике, соединив эти точки кривой, целиком лежащей внутри проводника (РИС. 22.3), и воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:

	2
φ12		Edl 0	φ1 φ2	, ч. т. д.
φ12		Edl 0	φ1 φ2	, ч. т. д.
	1

Рис. 22.3

Демонстрация: Распределение заряда на поверхности проводника

5.Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводника равна поверхностной плотности свободных зарядов:

Доказательство

Применим теорему Остроградского-Гаусса для D , выбрав поверхность интегрирования S в виде цилиндра, одно из оснований которого лежит внутри проводника, а другое плотно прилегает к поверхности проводника с внешней стороны (РИС. 22.4):

	DdS q	S	;
	DdS q		;
S

DdS DnSторц ,

Рис. 22.4

так как внутри проводника D 0 ме внешнего торца, равны нулю;

и потоки D через все стороны цилиндра S, кро-

q S σSторц ,

ПРИМЕРЫ В РАЗ-

175

так как заряд распределён только по поверхности проводника;

D S	торц	σS	торц
n

, ч. т. д.

3.4. Электрическая ёмкость

3.4.1. Ёмкость уединённого проводника

Уединённый проводник – проводник, удалённый от других тел, так что влиянием их электрических полей можно пренебречь.

Рассмотрим, как изменяются напряжённость электрического поля и потенциал уединённого проводника при изменении его заряда. При увеличении заряда в n раз напряжённость поля и потенциал увеличатся также в n раз (см.

ДЕЛЕ 3.2.4).

Электрическая ёмкость уединённого проводника – характеристика проводни-

ка, равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

	C	Q
	C	φ
		φ

, C Ф .

Ёмкость не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля, она зависит от формы и размеров проводника и диэлектрических свойств среды, его окружающей.

ПРИМЕР

Ёмкость шара

Уединённый проводник – металлический шар радиуса R находится в вакууме (РИС. 22.5). Найти ёмкость проводника.

O R

Рис. 22.5

SМысленно зарядим проводник зарядом Q и рассчитаем потенциал проводника (потенциал отсчитывается от бесконечно удалённой точки).

Сначала найдём напряжённость электрического поля из теоремы Остроградского-Гаусса для E :

	q		.

EdS		S
		S
S	ε
S	0

Поверхность интегрирования S – сфера радиуса r, где r

– расстояние от центра шара до точки, где измеряется поле, концентричная заряженному шару. Поток E

EdS Er 4πr	2
EdS Er 4πr
S

(см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3), охваченный заряд равен заряду шара Q;

E	4πr	2	Q
		2

r			ε
			ε
			0

Er	Q
		.
	4πε r2
	0

Потенциал шара найдём из интегральной связи напряжённости и потенциала электростатического поля:

R		R			R
φ Erdr	Q	dr2		Q 1		Q	.

	4πε			4πε r		4πε R
	4πε		r	4πε r		4πε R
	0			0		0

176

По определению ёмкости

	C	Q
	C	φ
		φ

4πε	R
0

3.4.2. Взаимная ёмкость двух проводников
Рассмотрим систему, состоящую из двух проводников, заря-					–q
ды которых равны по модулю и противоположны по знаку q					–q
ды которых равны по модулю и противоположны по знаку q
(РИС. 22.6). Разность потенциалов между проводниками про-
порциональна модулю их заряда: φ+ – φ– ~ q. Отношение				φ+	φ–
				φ+	φ–
	C		q
			q		Рис. 22.6
		φ	φ

– взаимная ёмкость проводников. Эта величина зависит от размеров, формы, взаимного расположения проводников и диэлектрических свойств среды и не зависит от заряда, потенциала и прочих характеристик электрического поля.

3.4.3. Конденсаторы

Конденсатор – система двух проводников, расположенных настолько близко друг к другу, что, если этим проводникам сообщить одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды, электрическое поле будет в основном сосредоточено между этими проводниками – обкладками конденсатора. Модуль заряда каждой из обкладок – заряд конденсатора.

Ёмкость конденсатора – характеристика конденсатора, равная отношению заряда конденсатора к модулю разности потенциалов между его обкладками (напряжению на обкладках):

C		Q		Q
C	φ		φ	U
	φ		φ	U

(22.5)

Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, их взаимного расположения, диэлектрических свойств среды между обкладками и не зависит от заряда, напряжения и т. п.

Для расчёта ёмкости любого конденсатора нужно мысленно придать ему заряд, найти напряжение между обкладками, а затем ёмкость по определению (22.5).

В ТАБЛИЦЕ 22.1 представлены конденсаторы простейшей формы и стандартные формулы55 для вычисления их ёмкости. Примеры вывода подобных формул даны

НИЖЕ.

55 Эти формулы относятся к конденсаторам, пространство между обкладками которых заполнено однородным диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью ε. В других случаях формулы для вычисления ёмкости нужно выводить заново, пользуясь определением ёмкости.

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

Смотрите также:








Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал