Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 194-198

182

3.5. Энергия электростатического поля

3.5.1. Энергия заряженного конденсатора

Пусть конденсатор ёмкостью C имеет заряд q. Перенесём положительный малый заряд dq с отрицательно заряженной обкладки на положительно заряженную (РИС. 23.3). При этом внешними силами совершается работа

*	dq φ φ Udq	q	dq .
δA		C

Работа внешних сил по зарядке конденсатора от 0 до Q

	Q	qdq	Q	2
*		qdq	Q
A		C	2C		.
A					.
	0
	0

Так как работа – мера изменения энергии, W = A*,

W	Q	2	CU	2	QU

	2C		2		2

(по определению ёмкости Q = CU). Демонстрация: Энергия конденсатора

q –q dq

Рис. 23.3

3.5.2. Объёмная плотность энергии электрического поля

Q		–Q	Рассмотрим заряженный плоский конденсатор (РИС. 23.4); заряд

			конденсатора равен Q, площадь обкладок – S, расстояние между об-
			кладками – d, конденсатор заполнен диэлектриком с относитель-
			ной диэлектрической проницаемостью ε. Электрическое поле
	d		внутри конденсатора однородно,	его напряжённость равна E . Ём-
			кость этого конденсатора C ε0εS	, а напряжение между обкладка-
Рис. 23.4			кость этого конденсатора C ε0εS	, а напряжение между обкладка-
Рис. 23.4			d

ми (по интегральной связи напряжённости и потенциала) U = Ed. Энергия конденсатора

	CU	2	ε εS			2
W	CU		ε εS	E d	2	ε εE V
W			0	E d		0
			0	2		0
	2		2d			2

где V = Sd – объём конденсатора.

,

(23.1)

Объёмная плотность энергии электрического поля – энергетическая характеристика поля, равная энергии поля в единичном объёме

	w		W
	w		V
			V
для однородного поля,

	w	dW		.
	w		dV

для неоднородного поля.

В изотропной среде с относительной диэлектрической проницаемостью ε

w ε0εE2 2 .

(23.2)

				183
Доказательство
Пусть в пространстве существует электростатиче-									φ + dφ
ское поле. Разобьём пространство, на					плоские				φ + dφ
ское поле. Разобьём пространство, на					плоские				φ
конденсаторы: вдоль любой пары близко распо-									φ
конденсаторы: вдоль любой пары близко распо-
ложенных друг к другу эквипотенциальных по-
верхностей можно мысленно разместить тонкие
проводники, которые служат обкладками плоско-
го конденсатора (РИС. 23.5) (при этом поле не ис-
казится, так как проводник в электростатическом
поле эквипотенциален). По формулам					(23.1)			и	Рис. 23.5
(23.2) объёмная плотность энергии									Рис. 23.5
(23.2) объёмная плотность энергии
w	W			ε εE		2
	W			ε εE			, ч. т. д.
				0			, ч. т. д.
				0
	V				2
Так как в изотропной среде D ε0εE ,
w		ε εE E					DE	.
w		0						.
		0
				2			2
Выражение объёмной плотности энергии электрического поля

			w		DE
			w		2
					2

справедливо для любой среды.

Согласно определению объёмной плотности, энергия электрического поля в объёме V

W wdV		DE	dV
W wdV		2	dV
V	V	2
V	V

.

ПРИМЕР

Энергия электрического поля заряженной сферы

По сфере радиуса R, находящейся в безграничном однородном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε, равномерно распределён заряд Q (РИС. 23.6). Найти энергию электрического поля в сферическом слое, внутренний радиус которого равен r1, а внешний – r2 (r1, r2 > R), концентричном заряженной сфере, и энергию ε электрического поля во всём пространстве.

Сначала нужно найти напряжённость электрического поля. Аналогичная задача (при ε = 1) была решена нами ранее (см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.2.3). Воспользовавшись теоремой Остроградского-

Гаусса для	D и связью D и E в изотропном ди-
электрике,	получим, что при r > R (область I на РИС. 23.6)

EIr	Q	,

	4πε εr2
	0

I

II

Q

O R

r

dr

Рис. 23.6

184

при r < R (область II) EIIr = 0.

В области I объёмная плотность энергии электрического поля

w	r	ε εE
w	r	0
		0
I		2
		2

2	ε εQ		2
	ε εQ
Ir	0
Ir	0
	2	ε	2	2	4
	2 16π	ε		ε r
		0

Q		2
Q
2	ε εr		4
2			4
32π
		0

.

Разобьём пространство вне заряженной сферы на бесконечно тонкие сферические слои, концентричные заряженной сфере. Энергия электрического поля в слое радиуса r и толщины dr

					Q			2											2
dW w (r)dV					Q									2				Q dr
dW w (r)dV					2						4	4πr dr									2
	I				2		ε εr				4						8πε εr				2
				32π			ε εr										8πε εr
								0					2						0
													2
Энергия поля в сферическом слое радиусами r1 и r2
r	2					2					r					2
2	2				Q	2				1	2			Q		2		1		1
W	Q dr				Q					1				Q				1		1
W	8πε εr	2			8πε ε r									8πε ε				r		r
r	8πε εr				8πε ε r						r			8πε ε				r		r
r	0						0				r					0		1		2
1											1
Энергия поля во всём пространстве
					2									Q	2
	0				Q dr				2					Q
	W			8πε εr									8πε εR
			R	8πε εr									8πε εR
			R		0									0

(внутри заряженной сферы поля нет).

.

Заметим, что энергия поля всегда положительна вне зависимости от знака заряда.

3.6. Электрический ток

3.6.1. Электрический ток. Сторонние силы

В непостоянном электрическом поле напряжённость поля внутри проводника

E 0

и имеет место электрический ток.

Направление тока – направление упорядоченного движения положительно заряженных частиц.

Сила тока56 – скалярная алгебраическая величина – характеристика тока, равная заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единичный промежуток времени:

	I	dq
	I	dt
		dt

ампер – одна из основных единиц СИ.

; [I] = А,

Знак силы тока определяется тем, совпадает ли направление движения положительных зарядов с выбранным положительным направлением обхода проводящего контура (см. НИЖЕ).

Плотность тока – векторная характеристика тока, по модулю равная заряду, проходящему в единичный промежуток времени через единичный участок поперечного сечения проводника, а по направлению совпадающая с направлением движения положительных зарядов (РИС. 18.1)57:

56Эту величину в электротехнике называют током.

57РИСУНОК 18.1 следует нарисовать заново.

185

j

dI dS

n

.

Почему возникает электрический ток? На некотором участке проводника происходит разделение зарядов. Такое разделение не может произойти под действием кулоновского (электростатического) поля; под действием кулоновского поля разделение зарядов, наоборот, исчезает. Разделение зарядов происходит под действием электромагнитных (неэлектростатических) полей; эти поля называют

сторонними силами58.

I уравнение Максвелла:

		Edl			B	dS
		Edl			t	dS
		L		S	t
		L		S
при		Edl 0

	L
				Edl	A	,
				Edl	q	,

			L
			L		0

;

здесь A – работа электрического поля по перемещению пробного заряда q0 по замкнутому контуру L. Представим напряжённость электрического поля в проводнике как

E E	кул	E	стор

(23.3)

– сумму напряжённостей кулоновского и неэлектростатического полей;

Edl

L

E	кул	E	стор	dl
E		E		dl
L

E	кул
E	dl
L

E	стор	dl	B	dS
			t
L		S

.

								0	1 +	– 2
Теперь рассмотрим незамкнутый контур 1-2, лежащий в									1 +	– 2
проводнике (РИС. 23.7). Интеграл по этому контуру										Рис. 23.7
Edl Eкул E		стор dl Eкулdl Eсторdl								Рис. 23.7
2	2	2			2
1	1	1			1
		2	сторdl;
	φ1	φ2 E	сторdl;
		1

					2		стор
				12		E	стор	dl
				12
				E
					1

– электродвижущая сила (ЭДС) – энергетическая характеристика электромагнитного поля (поля сторонних сил), равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из начала в конец проводника.

58 Здесь и далее мы сталкиваемся с исторически сложившейся, но не очень удачной терминологией: сторонние силы – это не силы, а поля, т. е. физические объекты; ЭДС – это не силовая, а энергетическая характеристика поля.

186

3.6.2. Закон Ома

Большинство проводников подчиняется закону Ома. Экспериментальный59 закон

Ома в дифференциальной форме:

j σE

,

(23.4)

где σ – удельная электропроводность вещества. Закон Ома справедлив для веществ, в которых концентрация носителей заряда остаётся неизменной.

Удельное электрическое сопротивление вещества

σ

	ρ		1	;
	ρ		σ


См		, [ρ] = Ом·м.
м		, [ρ] = Ом·м.
м

Подставим напряжённость электрического поля в виде (23.3) в закон Ома в форме (23.4), затем умножим скалярно на элемент тока dl :

j σ Eкул Eстор ,

jdl σEкулdl σE	сторdl Eкулdl	Eсторdl .
	ρ	ρ

Умножим это выражение на ρ и проинтегрируем по контуру 1-2 (РИС. 23.7):

2

кул

2

стор

ρ jdl

E

dl

E

dl

1

2

φ

1

По определению плотности тока

jdl

dI

ndl

dI

dl

I

dl

dS

S

,

E12

.

(23.5)

где S – площадь сечения проводника в направлении, перпендикулярном плотности тока. Подставим это выражение в (23.5) и проинтегрируем по участку 1-2:

	2	ρdl
I		ρdl	φ	φ E
I			φ	φ E
		S	1	2	12 .
	1	S
	1

Интеграл в левой части этого равенства – электрическое сопротивление участка цепи 1-2 – характеристика проводника, зависящая от формы, размеров и материала:

	2
R12	ρdl		.	(23.6)
	1	S	.	(23.6)
	1

С учётом определения (23.6) перепишем (23.5) в виде

IR	φ φ E			(23.7)
12	1	2	12

– обобщённый закон Ома для участка цепи. Здесь:

φ1 – φ2 – разность потенциалов на участке 1-2;

E12 – ЭДС на участке 1-2;

59 Этот закон для металлических проводников будет выведен в ПАРАГРАФЕ 6.5.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: