Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 270-274

		253
	y
		2		3
				3
		,

	O	1	x	4
	O
			x	x + x x
		,
z		6	5

Рис. 31.2

Пусть в пространстве (однородной, изотропной, неферромагнитной среде с относительной электрической и магнитной проницаемостями ε, μ) существует переменное электрическое поле. Свободные заряды и макротоки отсутствуют. Напряжённость электрического поля направлена вдоль оси y и изменяется только вдоль оси x (РИС. 31.2):

E

Ex

.

При этом магнитная индукция будет направлена вдоль оси z:

B Bz .

Мысленно выделим в пространстве прямоугольные контуры 1234 в плоскости xy

и 1456 в плоскости xz (РИС. 31.2), причём ширина контуров по контуру 1234

x << x. Циркуляция

E

Edl E

y

x l

E

y

x

x l

E

y

x E

y

x

x l

12

34

12

L

1234

Eyl12

;

(31.2)

поток

ком,

Bt

сквозь поверхность, натянутую на этот контур, взятый с обратным зна-

B

dS

BdS

B dS cosπ

B

S

B

l

z

t

z

t

1234

t

12

S

1234

S

1234

S

1234

x

.

(31.3)

Подставим (31.2) и (31.3) в I уравнение Максвелла и поделим на x:

	E		y	l12		B	z	l12	;
			y				z
	x					t
	x					t
при t → 0
		E			y	B	z	.
					y		z
			x			t
			x			t

Циркуляция напряжённости магнитного поля по контуру 1456

(31.4)

Hdl H

z

x

x l

45

H

z

x l

H

z

x

x H

z

x l

H l

45

;

(31.5)

61

45

z

L1456

254

ток смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур,

D

dS

DdS

DydS

D

y

S1456

D

y

l45

x .

t

S

1456

S

1456

S

1456

(31.6)

Подставим (31.5) и (31.6) во II уравнение Максвелла и поделим на x

H	z		l45		D	y	l45	;
	z					y
x					t
x					t
при t → 0
H				z	D	y	.
				z		y
		x			t
		x			t

(31.7)

Никаких других соотношений между Материальные уравнения

D ε0

E и

εE ,

B B

,

D μ0

и H

μH .

быть не может.

Далее в этом параграфе все формулы будем записывать через E																				и	H .
Возьмём производную от уравнения (31.4) по x, а от уравнения (31.7) – по t:
			E				μ μH
		2				2
					y			0			z
												2					2
		x		2			x t					E		y	ε εμ μ		E		y
				2
												x	2				t	2			(31.8)
	2												2		0	0		2			(31.8)
	2					2				y
H						2		ε εE
								ε εE
			z					0	2
									2

t x								t

– волновое уравнение для Ey.

Возьмём производную от уравнения (31.7) по x, а от уравнения (31.4) – по t. Аналогично получим


2H	z ε εμ μ		2H	z	(31.9)
	z ε εμ μ		t2	z	(31.9)
x2		0 0	t2

– волновое уравнение для Hz.

Общий вид волнового уравнения (для плоской волны)

	2	f	1			2	f

x		2	v	2	t		2	,

где v – скорость распространения бегущей волны. Сравнивая с этой записью уравнения (31.8) и (31.9), видим, что

v	1


	ε0μ0εμ

– скорость распространения электромагнитных волн; в вакууме

c	1		8 м
c	ε μ		3,00 10	с
	ε μ			с
	0	0

Скорость электромагнитных волн в среде

.

v cεμ .

255

Напряжённости электрического и магнитного полей подчиняются одному и тому же уравнению. Это означает, что переменное электромагнитное поле может существовать только в виде бегущей волны.

Общее решение волнового уравнения:

E	y	x,t f	1	x vt
	y		1

f	2	x
	2

vt

,

прямая волна

обратная волна

аналогично для Hz. Вид функций f1 и f2 определяется начальными условиями.

Связь	E	и	H	в электромагнитной волне:

	ε εE	y	μ μH	z
	0	y	0	z
Доказательство

.

(31.10)

Решение волнового уравнения (без обратной волны)

Ey f x vt , Hz g x vt .

Подставим это решение в (31.7). Для этого найдём производные

H				D	y	ε0ε	E	y	ε0εf	v .
	z	g	,		y	ε0ε		y	ε0εf	v .
	z
x				t			t

Из (31.7) получим

	ε εf	v	ε ε
				0
g
	0		ε μ εμ
			ε μ εμ
			0	0

f

g	ε ε	f
g	0	f
	0
	μ μ
	0

H

z

ε ε	E
0	E
0
μ μ		y
μ μ
0

, ч. т. д.

256

Лекция 32

3.14.2. Монохроматическая волна как решение волнового уравнения

Пусть источник волны создаёт возмущение Ey(0, t) = E0ycos(ωt + φ0). При этих начальных условиях решение волнового уравнения (31.8) и (31.9) будет иметь вид


	E


		H
		H

y

z



x,t



E

cos

ω

t

x

φ

,

0 y

0

v

H

cos

ω

t

x

φ

0z

0

v

(32.1)

– уравнение плоской бегущей монохроматической электромагнитной волны

(без обратной волны). «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны изображена на РИС. 32.1.

Характеристики монохроматической волны

E0y, H0y – амплитуда; Φ = ωt – kx + φ0 – фаза;

k	ω	– волновое число;
	v

v – скорость распространения волны; ω – циклическая частота;

φ0 – начальная фаза;

ν

ω

– частота;

2π

T

1

2π

– период;

ν

ω

λ vT

2πv

v

2π

– длина волны.

ω

ν

k

Ey

O

x

Hz

Рис. 32.1. «Мгновенная фотография» монохроматической электромагнитной волны

257

Уравнение монохроматической электромагнитной волны при произвольной форме волнового фронта:

			0					0
	E E				cos		ωt kr φ		,
				0				0
	H H			0		cos		0		.
	H H					cos		ωt kr φ		.

Здесь k – волновой вектор;	E0	H0			, а модули напряжённостей электрического и

магнитного полей, связаны между собой соотношением

ε0εE μ0μH

[ср. (31.10)].

3.14.3. Энергия электромагнитной волны

Плотность потока энергии – энергетическая характеристика волны – энергия, которую волна переносит в единичный промежуток времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:

P

	dW
	dtdS
	dtdS

P		Вт
P		2
		м

.

;

Выделим в пространстве, где распространяется электромагнитная волна, малый параллелепипед, длина которого равна расстоянию, проходимому волной за малое время dt – vdt, а

площадь торца равна dS (РИС. 32.2). Объём параллелепипеда

dV vdtdS .

Энергия, содержащаяся в этом объёме,

dW wdV ,

где w – объёмная плотность энергии электромагнитного поля;

w DE BH ε0εE2y μ0μHz2 .

2 2 2 2

С учётом соотношения (31.10)

vdt

Рис. 32.2

	w	ε εE
		0
		2
		2

Тогда

dW

2	ε εE	2
y	ε εE	y	ε
y	0	y

	2		0
	2

EyHz vdtdS

v

εE	2	ε εμ μE
	y			y
		0	0

, P	E	y	H	dtdS
		y	z
			dtdS
			dtdS

H	z
	z

Ey

E	H	z
y		z
v
Hz	;

.

PEH

–вектор Умова-Пойнтинга – вектор плотности потока энергии. Вектор УмоваПойнтинга сонаправлен скорости волны и волновому вектору, т. е. указывает

направление переноса энергии.

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: