Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

323

Каждой частице сопоставляется изобразительная точка, координаты которой в фазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы. Изобразительная точка движется по фазовой траектории.

ПРИМЕР

Колебания пружинного маятника

Запишем закон сохранения механической энергии в применении к пружинному маятнику:

mv

2

kx

2

W const ,

2

2

где m – масса груза, v – его скорость, x – отклонение груза от положения равновесия, k – жёсткость пружины. Выражим энергию маятника через координаты двумерного фазового пространства – проекцию px импульса груза на направление колебаний и координату груза (x = 0 – в положении равновесия):

2

kx

2

W

p

.

x

2m

2

Это уравнение фазовой

траектории частица, которая

(РИС. 41.6).

px

0 x

Рис. 41.6

имеет форму эллипса

Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительных точек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Нас интересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём.

Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdpxdpydpz (микросостояние частицы задаётся с соответствующей точностью). Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц.

Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние,

– статистический вес Ω системы.

Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальным статистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.

Пронумеруем частицы и ячейки. Таким образом, состояние определённой частицы будет задаваться номером ячейки, в которой частица находится. Будем обозначать энергию частицы в i-ой ячейке εi. Микросостояние системы будет определяться числом частиц в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц.

ПРИМЕР

Распределение двух частиц по двум фазовым ячейкам

i = 1

i = 2

A

B

i = 1

i = 2

A

B

Это 1 макросостояние и 2 микросостояния, Ω = 2.

i = 1

i = 2

A B

1макросостояние

Ω1

324

i = 1

i = 2

A B

1макросостояние

Ω1

325

Лекция 42

6.1.5. Фазовое пространство в квантовой физике

В квантовой механике координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы. Соотношения неопределённостей Гейзенберга:

x

p

,

x

2

y

py

,

2

z

p

.

z

2

В результате этого на объём фазовой ячейки накладывается ограничение

3

γ x y z px py pz 8 .

Различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состояния, если γ ~ ħ3. В качестве фазовой ячейки возьмём ячейку объёмом γ = ħ3. Одна ячейка – одно квантовое состояние.

Примеры заполнения фазовых ячеек в различных квантовых термодинамических системах приведены на РИС. 42.1.

Солнечный свет

Излучение лазера

а

б

Рис. 42.1

Заполнение фазовых ячеек

Классические частицы

Квантовые частицы

В одной ячейке – любое число изобразительных точек.

фермионы

бозоны

Подчиняются

Не подчиняются

принципу Паули.

принципу Паули.

В одной ячейке –

В одной ячейке –

2 изобразительные точки

любое число

с противоположными

изобразительных точек.

спинами (↑↓).

Лучше взять ячейку объёмом

γ h3 .

2

326

Найдём плотность заполнения фазовых ячеек, которая бы соответствовала равновесному состоянию системы. Будем исходить из условий, приведённых в ТАБЛИ-

ЦЕ 42.1.

Таблица 42.1

Классическая статистика

Квантовые статистики

На размер ячейки

накладываются

3

3

1. ограничения. Пусть

3

γ 8

γ

h

γ h .

Объём ячейки

. Пусть

2 .

2

Все частицы одинаковы, но различиЧастицы одинаковы и неразличимы.

2.мы. Перестановка частиц изменяет Перестановка частиц не изменяет

микросостояние системы.

микросостояние системы.

Для фермионов внутри ячейки может

Внутри ячейки может быть любое

находиться не более 1 изобразитель-

ной точки.

3. число изобразительных точек.

Для бозонов число изобразительных

точек в ячейке не ограничено.

4.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.

В замкнутой системе внутренняя энергия U = const и число частиц N = const

5.(для бозонов – не обязательно).

6.Равновесное состояние реализуется наибольшим числом микросостояний.

ПРИМЕР

Распределение двух изобразительных точек по двум фазовым ячейкам

В ТАБЛ. 42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в случае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистический вес системы Ω0 –– общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема.

Классические частицы

A B

B A

A B

A B

Ω

4

0

Бозоны

Ω

3

0

Таблица 42.2

Фермионы

Ω

1

0

6.1.6. Функция распределения

Функция распределения (см. 2.7.1) f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малой области фазового пространства:

327

f

где dN(εi) – число частиц, а dg(εi) – нимает значения от εi до εi + dε.

ε

dN ε

i

,

i

dg ε

i

число ячеек, в которых энергия частицы при-

Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, которые приведены в ТАБЛ. 42.3 (k – постоянная Больцмана). Это распределение частиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!

Классические

частицы

Спин

свойства частиц

не важны

Статистика

Максвелла-Больцмана

Плотность

N

1

заполнения ячеек

g

Функция

ε μ

f ε e

i

распределения

kT

i

Химический

μ 0

потенциал

Температура

T T

(см. 6.1.7)

кр

6.1.7. Критерий вырождения газа

Таблица 42.3

Фермионы

Бозоны

полуцелый

целый

Ферми-Дирака

Бозе-Эйнштейна

N

1

N

~1

g

g

f ε

1

f ε

1

ε

μ

ε

μ

i

i

e

i

1

e

i

1

kT

kT

μ 0

μ 0

T T

кр

Индивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только

N

~1,

N

при высокой плотности заполнения фазовых ячеек

g

g

подчиняется квантовой статистике. Подобный газ называется

1

. Такая система

вырожденным.

При низкой плотности заполнения ячеек

N

1

индивидуальные свойства ча-

g

стиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется

невырожденным.

Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура. Если T > Tкр, где T – критическая температура, то газ не вырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.

Можно показать, что

2

2 3

T

~

h n

кр

3km

0

,

где n – концентрация газа, m0 – масса частицы.

Численная оценка

Для идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е. этот газ не вырожден. Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.

328

6.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциал идеального газа

Эта тема рассматривалась в I семестре (2.7.2, 2.7.3). Подойдём к этому вопросу с другой стороны.

Функция распределения

ε μ

f εi e

i

kT

,

(42.1)

μ < 0; график функции распределения представлен на РИС. 42.2. Газ не вырожден,

т. е. f(εi) << 1.

Подсчитаем число частиц, энергия которых лежит в интервале от εi до εi + dε. По определению функции распределения

f(εi)

εi

μ 0

Рис. 42.2

f εi

dN

ε

dNε

i

dg

i

ε

i

Далее индекс i опустим. Число фазовых ячеек

dg

dΓ

,

γ

f ε

dg

i

ε

i

.

где dΓ – объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частиц

от ε до ε + dε;

3

γ

h

2

– объём фазовой ячейки.

Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. Тогда

dΓ

dxdydz

x

y

z

dp dp dp

V

VdΓp

,

V – объём сосуда, в котором находится газ;

VdΓ

dg

p

3

2

h

Найдём dΓp – элемент объёма в пространстве импульсов – трехмерном подпространстве фазового пространства. Выразим энергию частицы через её импульс:

ε p2 .

2m0

Энергия частицы зависит только от модуля импульса. Поэтому разбиваем подпространство импульсов на бесконечно тонкие сферические слои радиусом p и толщиной dp (РИС. 42.3). Объём такого слоя

dΓp 4πp2dp .

Подставим это выражение в (42.2):

. (42.2)

pz

dp

p

0

py

px

Рис. 42.3

Источник: https://files.student-it.ru/previewfile/285299

Смотрите также:

Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_-___-~1
_1-тема-СтрМетал