Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 347-352

329

		2
dg	V 4πp dp
dg	3	2
	3
	h

Перейдём от p к ε:

.

p	2m ε
	0

,

dp	2m	dε

	0	2	ε

m0 2

dε ε

;

	V 4π 2m ε		m	dε		3 2
dg					16πVm		εdε .
		0	0			0

	3	2	2	ε	3	2
	h				h

Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1),

		3 2		ε μ
dN		f ε dg 16πVm	0	εe kT dε .
	ε
		h3 2

Найдём химический потенциал из условия нормировки		dNε

N

:

N

2

3 2

ε μ

3 2

μ

ε

4πV 2m

16πVm

εe

dε

e

εe

dε

3

0

kT

3

kT

0

h

2

0

h

4πV 2m

3 2

π

3 2

μ

2V 2πm kT

μ

0

e

kT

0

e

kT

;

3

h

2

h

	3
μ kT ln	Nh
μ kT ln	3 2
	2V 2πm kT
	0

;

2

dN	ε
	ε

			μ			3
		e	kT			Nh		,
		e						,

							3 2
				2V 2πm kT
						0
	3 2			3			ε		2N
16πVm		Nh					kT dε		2N
3	0	2V 2πm kT			3 2	εe	kT dε		3 2
3	2				3 2				3 2
h	2								π kT
				0

	ε
εe	kT	dε
εe		dε

.

Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий:

F ε	dN		2		ε
	dN	ε	2	εe	kT
				εe

	Ndε		3 2
	Ndε		π kT

.

Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4.

Среднее значение энергии частицы


ε	εF ε dε
ε
	0

	F ε dε
	0

3kT

2

1

.

330

F(ε)

T1

T2 > T1

0	Рис. 42.4	ε
	Рис. 42.4

331

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) – энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

R		dW

T		dSdt

,

RT

Вт м2

.

Спектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот77 (длин волн):

r
ω,T
r
	ω,T

	dW		,
dSdtdω			,
dSdtdω
		Вт с
		2
		2
		м

r
λ ,T
,	r
		λ ,T

	dW
dSdtdλ
		Вт	.
		3	.
		3
		м

;

Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:

rω,T		dR		, rλ ,T			dR	;
rω,T			T	, rλ ,T			T	;
			T				T
			dω				dλ

RT			rω,T dω			rλ ,T dλ .
RT			rω,T dω			rλ ,T dλ .
	0				0

Связь rω, T и rλ, T: dλ

rω,T dω rλ,Tdλ rλ ,T rω,T dω dλ

здесь v – скорость света в среде.

d

	2πv			2πv				dω		;
						2		dω		;
						2
	ω				ω
			2					2	v	2
r		dω ω					4π		v
r									2
ω,T		2πvdω							2
		2πvdω					2πvλ

2πv

r
ω,T

	2πv	r
	2	r
	2	ω,T
	λ

,

(43.1)

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равна доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:

77 В этом параграфе частота – это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

332

w	dW	, w	Дж	.
			3
T	dV	T
			м

Спектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот78:

	dw	, u	Дж c
u	T		Дж c	.
	T
ω,T			3
	dω	ω,T	3
	dω		м
			м

Связь uω, T и wT:

wT


	u	dω
	ω,T
0

.

Связь rω, T и uω, T:

r	v	u

ω,T	4	ω,T

Доказательство

.

(43.2)

Пусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении

каждый фотон передаёт стенке импульса		p		ε	, где ε – энергия фотона. Общий
				v

импульс, т. е. давление света на стенку,
P np	nε		n ω		.
	v		v

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотонов

dW εdn
ω

ωdnω

u	dω
ω,T

.

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о стенку в единичный промежуток времени равно 14 vdnω . Поэтому

dW 4v ωdnω .

Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следует

r	dω	v

ω,T		4

ωdn	v	u	dω

ω	4	ω,T

rω,T v , ч. т. д.

uω,T 4

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

78 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

333

Чёрное тело (абсолютно чёрное тело) – тело, поглощающее всё падающее на него излучение:

0	0
aω,T	aT 1 .
Модель чёрного тела
Абсолютно чёрных тел в природе не бывает, но мож-
но создать объект, по своим оптическим свойствам
сколь угодно приближенный к чёрному телу. В за-
крытом сосуде (лучше с зачернённой внутренней по-
верхностью) нужно сделать малое по сравнению с
размерами сосуда отверстие (РИС. 43.1). Если на это
отверстие падает свет, то, проходя через отверстие,
он либо поглощается внутренней поверхностью со-
суда, либо отражается от неё, затем снова падает на
внутреннюю поверхность, опять поглощается или		Рис. 43.1
отражается и т. д. Таким образом, свет,	падающий на

отверстие, практически не выходит из него, т. е. отверстие является чёрным телом.

Демонстрация: Модель абсолютно чёрного тела

Закон Кирхгофа: отношение спектральной поглощательной и излучательной способностей тела не зависит от его природы, а является универсальной функцией частоты (длины волны), равной спектральной излучательной способности чёрного тела;

rω,T r0 .

aω,T ω,T

Доказательство

Пусть внутри чёрной оболочки помещено нечёрное тело (РИС. 43.2). Так как оба тела находятся в равновесии с излучением, энергия, поглощённая участком поверхности нечёрного тела площадью dS в любом малом интервале частот dω за время dt, равно излучённой энергии в том же интервале:

dWпогл dWизл .

По определению спектральной поглощательной способности

dWпогл aω,T dWпад ,

чёрное тело

нечёрное тело

Рис. 43.2

где dWпад – энергия излучения в том же диапазоне, падающего на ту же площадку в тот же промежуток времени; по определению спектральной излучательной способности

dWизл rω,TdωdSdt .

На участок поверхности чёрного тела площадью dS падает за время dt столько же излучения, что и на участок поверхности нечёрного тела той же площади:

dWпад dWпад0 .

334

Но чёрное тело поглощает всё падающее на него излучение и, следовательно, столько же излучает:

dW0 пад

dW0 погл

dW0 изл

r0 dωdSdt

ω,T

.

Из этих равенств следует, что

r	dωdSdt a r0	dωdSdt	rω,T	r0	, ч. т. д.

ω,T	ω,T ω,T		aω,T	ω,T

Демонстрация: Кубок Лесли

6.3.3. Фотонный газ. Подсчёт числа фотонов с энергией от ε до ε + dε

Так как фотоны – бозоны (спин фотона s = 1), они подчиняются статистике БозеЭйнштейна; функция распределения по фазовым ячейкам

f ε			1
f ε		ε	μ
i		ε	μ
	e	i		1
	e	kT		1
		kT

.

Разберёмся, чему равен химический потенциал μ фотонного газа. Число частиц N ≠ const, так как фотоны непрерывно поглощаются и излучаются. Фотонный газ стремится к минимуму внутренней энергии U за счёт изменения N:

	U	0.
	N	0.
	N

Но по определению химического потенциала

μ 0	.
	.

U
μ
	N

		V const
			S const

. Поэтому

С учётом равенства нулю химического потенциала функция распределения запишется как

f ε	1

		ε

	e		1
		kT

(здесь и далее в этом разделе мы опускаем индекс i). По определению функции распределения

f ε	dN	ε	,


	dg

где dNε – число фотонов с энергией от ε до ε + dε, dg – число ячеек, соответствующих этой энергии.

Число фазовых ячеек в фазовом объёме dΓ, в котором энергия частиц лежит ε до

ε + dε,

dg hd3Γ2 ,

так как h3/2 – объём фазовой ячейки. Поскольку энергия фотона не зависит от координаты,


dΓ	dxdydz dpxdpydpz VdΓp ,
	V

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также: