Документ: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр), страницы 353-357

Материал: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

Смотрите также:

335

где V – объём полости, в которой находится фотонный газ, dΓp – элемент объёма в подпространстве импульсов. Так как энергия фотона зависит только от модуля импульса, а не от его направления, выбираем dΓp в виде тонкого сферического слоя радиуса p и толщины dp (РИС. 42.3):

dΓp

4πp2dp

.

Так как энергия фотона ε = cp (c – скорость света в вакууме; если излучение распространяется в среде, в всех формулах этого параграфа можно заменить c на v),

ε

dε

2

dε

p

,

dp

dΓ

4πε

;

3

c

p

c

dg

V 2 4πε2dε

8πV

ε2dε ;

3 3

c h

8πV

2

dN

ε dε

ε

c

3

ε

h

e

kT

1

или

V

2

dN

ε dε

.

ε

2

3

ε

π c

e

kT

1

6.3.4. Спектральная излучательная способность чёрного тела

Энергия фотонов с энергией ε до ε + dε в объёме V

dW εdNε .

Так как ε = ħω, спектральная плотность энергии излучения

uω,T

dW

ωdN

ε

.

Vdω

Подставив сюда выражение (43.3), получим

ω

V

2

dω

3

uω,T

ω

.

V

2

3

ω

2

3

ω

π c

1

π c

e

kT

1

e

kT

dω

Из соотношения (43.2) следует, что

c

3

r

u

ω

.

2

ω

ω,T

4

ω,T

4π c

e

kT

1

Из (43.1)

r

2πc r

2πc

8π3c3

4π2c2

1

λ ,T

λ2 ω,T

4π2c2λ2

λ3

2π c

1

λ5

2π c

1

e λkT

4π2c2

1

2πc2h

1

.

λ5

2π c

λ5

hc

1

e λkT

1

eλkT

Итак,

(43.3)

336

				3		2πc	2	h	1
rω,T			ω		, rλ ,T	2πc		h	1
rω,T	2πc	2	ω		, rλ ,T	5			hc
	2πc	e	kT	1		λ				1
		e		1				e	λkT	1
									λkT

– формула Планка.

График функции rω, T представлен на РИС. 43.3, а функции rλ, T – на РИС. 43.4. rω, T

0

ω

Рис. 43.3

(43.4)

6.3.5. Законы излучения чёрного тела

1.Закон Кирхгофа

2.Закон Планка

3.Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:

	где σ 5,67 10	8 Вт
	где σ 5,67 10	К
		К
	Доказательство

R	σT	4	,

T

– постоянная Стефана-Больцмана.

Интегральная излучательная способность чёрного тела

						ω		1				4			3		ω		1

RT rω,T dω				ω3			1	dω			kT				ω			1			ω

					ekT											ekT				d		.
		2πc	2						2πc	2
0	0												0	kT						kT

Обозначим

	ω	ξ
	kT	ξ
	kT

;

	k4			eξ 1 1 dξ .
RT			T4 ξ3
	2πc	3
		0

Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина. Поэтому RT ~ T4, ч. т. д.

337

4.Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;

λmT b

где b = 2,90∙10–3 м∙К – постоянная Вина.

Доказательство

,

Условие максимума спектральной излучательной способности

drλ ,T 0. dλ

из формулы Планка

Обозначим

hc kTλ

x

5λ		hc
5λ	e
6		kTλ

		hc
5e
		kTλ
; получим
		xe

				hc
1	λ e
		5		kTλ

5		hc		hc
5		hc	e
				kTλ
		kTλ

x	5e	x	5 0

hc kTλ2

0 .

.

0

,

Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:

На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способность rλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральной излучательной способности смещён в сторону более коротких волн.

rλ, T

T2 > T1

T1

0

λ2m λ1m

λ

Рис. 43.4

Демонстрация: Закон Вина

5. Формула Рэлея-Джинса

338

Из классических соображений можно получить формулу

	2
r	ω kT
		2
ω,T	2πc

– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следует


R		r	dω
T		ω,T
	0

– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения тела бесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.

Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовался гипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может принимать только дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т. д., кратных кванту энер-

гии.

Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых часто-

тах излучения

	ω

kT

1
1

r
ω,T

:

			3			3	2
		ω				ω kT	ω kT
2πc	2	ω		2πc	2	ω	2πc	2
	2	ω	1		2			2
	e	kT
	e

.

339

Лекция 44

6.3.6. Оптическая пирометрия

Оптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этом используются, называются пирометрами.

Пирометры
радиационные	оптические
регистрируют интегральное	регистрируют излучение
излучение нагретого тела	нагретого тела на узком
	участке спектра

Введём ряд энергетических характеристик излучения79.

Поток излучения Φ – средняя мощность оптического излучения за время, много большее периода световой волны.

Энергетическая освещённость – поток излучения,

приходящийся на единичный участок поверхности тела, на которое падает свет:

E	dΦ	.
	dS

dΩ

φ

dS

Рис. 44.1

Энергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся на единичный телесный угол:

I

dΦ dΩ

.

Энергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:

B dI . dS cosφ

Смысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС. 44.1.

Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркость в единичном диапазоне частот (длин волн):

bω

dB dω

, bλ dBdλ .

Радиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой его энергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:

B	0	Tр B .
	0

79 Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин, которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическому излучению.

const , ч. т. д.