Материал: конспект-лекций

61

ны с размерностью 1/|х|.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только 1. Пример четы-

рех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5

приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормирован-

ность функций следует из принципа их построения.

Стандартное математическое обозначение функций Уо-

Рис. 2.3.3. Функции Уолша. лша wal(k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормиро-

ванная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х), – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – анало-

гичные синусам.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гар-

монических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля толь-

ко члены с номерами m = n. Отсюда

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется,

и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсева-

ля.

2.4. ФУНКЦИИ КОРРЕЛЯЦИИ СИГНАЛОВ [1, 25, 29].

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сиг-

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига . Соответствен-

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t- в выражении (2.4.1):

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для по-

ложительных значений . На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+ ) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях ин-

тервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t- )

вместо s(t+ ).

По мере увеличения значения величины сдвига для финитных сигналов временное пере-

крытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение в целом стремятся к нулю.

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением,

равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤ ≤T сигналы пе-

При | | > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сиг-

налов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ор-

тогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

Рис. 2.4.1.

При =0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в

пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической

функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Пер-

вое максимальное значение АКФ будет соответствовать =0. При сдвиге копии сигнала на чет-

верть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos o(t- = cos ( ot- /2) sin ot) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на

=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при

=3T/2 и повторением максимального значения при =T=2o (cos ot-2 копии cos ot

сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы

(рис. 2.4.1).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигна-

ла, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ производится с

Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисле-

ние которого производится по формуле (по центрированным сигналам): rs( ) = cos ( ) = s(t), s(t+ ) /||s(t)||2.

64

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) пока-

зывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относи-

тельно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула

(2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из ко-

торых сдвинут на время :

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.2, где заданы два одинако-

вых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по фор-

муле (2.4.3) с постепенным увеличением значений означает по-

следовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подын-

тегрального умножения берутся значения s2(t+ )).

При =0 сигналы ортогональны и значение B12( )=0. Максимум В12( ) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение =1, при котором происходит полное совмещение сиг-

налов s1(t) и s2(t+ ). При вычислении значений B21(- ) аналогичный процесс выполняется после-

довательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрица-

тельных значений , а соответственно значения B21(- ) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B12( ), и наоборот. На рис. 2.4.3 это можно видеть наглядно.

Таким образом, для вычисления полной формы

ВКФ числовая ось должна включать отрицательные

значения, а изменение знака в формуле (2.4.3) равно-

сильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обыч-

но не применяется, за исключением сигналов с одинако-

вым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центриро-

2.5. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ШУМОВ И ПОМЕХ [1, 30].

Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информацион-

ным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой раз-