Материал: конспект-лекций
71
функцией импульсного отклика системы или импульсной характеристикой. Она однозначно опре-
деляется оператором преобразования h(..):
y(t) = T[ |
(t-0)] = h(t). |
(3.1.2) |
y(k t) = T[ |
(k t-0)] = h(k t). |
(3.1.2') |
Импульсный отклик аналоговой системы на входную дельта-функцию также в определен-
ной степени представляет собой математическую абстракцию идеального преобразования. С прак-
тической точки зрения под импульсным откликом можно понимать отображение реакции системы на импульсный входной сигнал произвольной формы с единичной площадью, если длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с временной (координатной) разрешающей спо-
собностью системы. Для цифровых систем импульсный отклик однозначно определяется реакцией системы на импульс Кронекера. Функцию импульсного отклика называют также весовой функцией
системы.
Очевидно, что в линейных и инвариантных к сдвигу системах форма импульсного отклика не зависит от времени прихода входного сигнала и определяет только его положение на времен-
ной оси. Так, если входной импульс задержан (относительно 0) на время to, то соответствующий выходной сигнал будет определяться выражением:
y(t) = T[ (t-to)] = h(t-to).
В любой системе, работающей в реальном масштабе времени, сигнала на выходе системы не может быть, если нет сигнала на ее входе. Отсюда следует односторонность импульсного от-
клика физических систем:
h(t- ) = 0 при t< .
Для программных систем, работающих с зарегистрированными массивами цифровых дан-
ных, импульсный отклик может быть и двусторонним, так как при обработке сигналов в любой текущей точке k t системе доступны как "прошлые" отсчеты k t-n t, так и "будущие" отсчеты k t+n t. Это резко расширяет возможности программной обработки сигналов по сравнению с фи-
зическими системами.
На рисунке 3.1.2 приведен пример импульсного отклика h(t) элементарной физической си-
стемы преобразования электрических сигналов – динамической интегрирующей RC-цепи. Подоб-
ные схемы очень часто применяются в полевых геофизических приборах (например, в радиомет-
рах) в качестве интенсиметров - измерителей средней скорости счета импульсных потоков сигна-
лов.
|
|
72 |
|
|
|
|
При подаче на вход RC-цепи единичного и очень |
||
|
|
|||
|
короткого ( t << RC) импульса заряда |
q емкость С за- |
||
|
ряжается до напряжения Vо = |
q/C, и начинает разря- |
||
|
жаться через сопротивление R, при этом напряжение на |
|||
|
емкости изменяется по закону |
v(t) = |
Voexp(-t/RC) = |
|
|
( q/C)exp(-t/RC). Отсюда, импульсный отклик RC-цепи |
|||
|
на единичный входной сигнал с единичным значением |
|||
|
заряда |
q = 1 равен: h(t) = (1/C)exp(-t/RC), где форма от- |
||
|
клика определяется функцией экспоненты, а множитель |
|||
Рис. 3.1.2. |
(1/С) |
является масштабным преобразователем сигнала |
||
|
||||
|
|
|
|
|
(заряда в напряжение). По существу, импульсным откликом системы определяется доля входного сигнала, которая действует на выходе системы по истечении времени t после поступления сигнала на вход (запаздывающая реакция системы).
Если функция импульсного отклика системы известна, то, с учетом принципа суперпози-
ции сигналов в линейной системе, можно выполнить расчет реакции системы в любой произволь-
ный момент времени на любое количество входных сигналов в любые моменты времени их при-
хода путем суммирования запаздывающих реакций системы на эти входные сигналы. На рис. 3.1.2
приведен пример входного сигнала s(t) для RC-цепи в виде последовательности импульсов и ре-
акция системы y(t) на такой входной сигнал, образованная суммированием реакций системы на
каждый импульс.
Допустим, что на вход RC-цепи в моменты времени t1=1 и t2=2 поступили очень короткие
(по сравнению со значением RC) импульсы заряда величиной A и В. Математически это можно
отобразить сигналом s(t) = q1(t)+q2(t), где q1(t) = A |
t-t1) и q2 = B |
(t-t2). Выходной сигнал систе- |
мы при известном импульсном отклике h(t) отобразится формулой: |
|
|
y(t) = T[q1(t)+q2(t)] = T[A (t-t1)]+T[B (t-t2)] = A T[ (t-t1)]+B T[ |
(t-t2)] = A h(t-t1)+B h(t-t2). |
|
При расчете значений выходного сигнала в произвольный момент времени t после прихода
на вход системы сигналов q1 и q2, например, для t = 5, для каждого из сигналов вычисляются зна-
чения их запаздывающих реакций: y1 = A h(5-1) = A h(4) и y2 = B h(5-2) = B h(3), после чего зна-
чения запаздывающих реакций суммируются у = у1+у2. Пример этой операции можно видеть на рис. 3.1.3, где для удобства графического представления приняты значения А=1 и В=1. Сущность операции не изменяется при любых значениях А и В, а в общем случае и для любого количества импульсов.
|
73 |
|
|
|
|
Однако эту же операцию можно рассматривать и с |
|
|
|
||
|
|
другой позиции. Развернем импульсный отклик h(t) системы |
|
|
|
на 1800 и поместим его начало h(0) непосредственно в точ- |
|
|
|
ку, для которой нужно выполнить расчет выходного сигна- |
|
|
|
ла, т.е. в точку t=5 для нашего примера. Если теперь отсчет |
|
|
|
координат для функции h(t) повести назад от точки расчета |
|
|
|
по аргументу |
т.е. перейти на вычисление h( ), где |
значение |
изменяется от 0 и далее (в пределе до |
), то нетрудно убедиться (на рисунке это |
|
наглядно видно), что функция h( ) пересечет входные импульсы на тех же значениях у1 и у2. Для
этих точек пересечения первого и второго импульсов соответственно имеет место 1 = t-t1 и 2 = t-t2, как и при прямом методе расчета запаздывающих реакций при расчете значений h(t-t1) и h(t-
t2). После умножения полученных значений h( 1) и h( |
2) на значения входного сигнала А и В, по- |
|
лучаем полную аналогию: y1 = A h( |
1) = A h(t-t1) и y2 |
= B h( 2) = B h(t-t2), и соответственно сум- |
марный сигнал у = у1+у2. |
|
|
Такое, чисто математическое представление расчета более удобно для составления матема-
тических алгоритмов вычислений. Условно этот процесс для коротких входных импульсных сиг-
налов может быть представлен в следующем виде. Для любой точки расчета ti выходного сигнала инвертированная по координатному направлению функция импульсного отклика h( ) помещается в эту точку ti и просматривается по своей координате 
с одновременным синхронным просмот-
ром входного сигнала s(t) назад от точки расчета (прошлые значения входного сигнала) по коор-
динатам ti- . Значения всех встреченных при просмотре импульсов s(ti- ) перемножаются со зна-
чениями h( ) и суммируются. Тем самым, для каждой текущей точки расчета ti в аналоговой си-
стеме выполняется операция:
d
Соответственно в цифровых системах для произвольной точки k:
|
|
|
|
y(k t) = |
h(n |
t) s(k t-n t). |
|
|
n |
0 |
|
y(ti) =
0
h(
) s(ti- )
(3.1.3')
Полученная сумма значений и будет представлять собой запаздывающую реакцию системы на все импульсы, поступившие на вход системы до текущей точки расчета выходного сигнала.
Таким образом, для линейных и стационарных систем легко определить их реакцию на лю-
бой входной сигнал, если известен импульсный отклик систем на единичный входной сигнал.
3.2. СВЕРТКА (КОНВОЛЮЦИЯ) СИГНАЛОВ [1, 11].
Интеграл Дюамеля позволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:
|
|
|
74 |
|
|
|
t |
|
|
y(t)= y(0)+ |
|
|
|
g( )s(t- ) d |
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
(3.2.1)
Рис. 3.2.1.
где y(0) – начальное значение выходного сигнала системы.
Пример расчета выходного сигнала системы на ступенчатый входной сигнал приведен на рис. 3.2.1. Ступенчатая форма сигнала принята для более наглядного представления процесса формирования выходного сигнала. В общем случае, форма входного воздействия может быть про-
извольной.
Интеграл свертки – это вариант интеграла Дюамеля. Произвольный сигнал на входе си-
стемы с использованием выражений разложения сигнала может быть представлен в виде последо-
вательной линейной комбинации взвешенных единичных импульсов:
y(t) = T[s(t)] = T[
s( )
(t- ) d
На основании принципа суперпозиции линейный оператор Т может быть внесен под знак интеграла, т.к. последний представляет собой предельное значение суммы. При этом операция преобразования действует только по переменной t. Отсюда следует:
|
|
|
y(t) = s( ) Т[ (t- )] d |
s( ) h(t- ) d . |
(3.2.2) |
Это выражение и представляет собой интеграл свертки (конволюции) входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Заменой переменных t-
= 
можно убедиться в том,
что свертка коммутативна:
s( ) h(t- ) d
|
|
|
h( ) s(t- ) d .
(3.2.2')
Функция h( ) называется ядром свертки (kernel) или импульсной характеристикой линей-
ной системы.
Смысл интеграла свертки состоит в том, что входной сигнал представляется сомкнутой по-
следовательностью следующих друг за другом коротких импульсов, площади которых равны зна-
чению сигнала в моменты их следования при длительности импульсов, стремящейся к нулевой.
Такая последовательность импульсов условно может рассматриваться в виде последовательности дельта-функций с площадями, равными площадям соответствующих импульсов. Реакция системы
(3.2.2) находится как сумма реакций на каждый импульс, составляющий входное воздействие.
Аналогично, для дискретных сигналов, где значение t, как правило, принимается равным
1, а индексы k и n выполняют роль номеров отсчетов числовых рядов:
75
|
|
|
y(k) = |
|
h(n) s(k-n). |
|
n - |
|
(3.2.2'')
В цифровых методах обработки сигналов функцию h(n) обычно называют оператором свертки, а его размер по числу отсчетов – окном оператора свертки.
Выражения (3.2.2) имеют специальную форму упрощенной математической записи в сим-
волическом виде:
y(t) = s(t- ) * h( ) s(t) * h(t).
Сравнением выражений (3.2.2' и 3.2.2'') с выражениями (3.1.3) нетрудно убедиться в их полной идентичности, за исключением нижнего предела интегрирования (суммирования). Это и понятно, так как выражения (3.1.3) были получены при рассмотрении реальной физической систе-
мы, работающей в реальном масштабе времени, импульсный отклик которых является односто-
ронним (равен нулю при <0). Для таких систем интегрирование (и суммирование) от - до 0 не имеет смысла. Кроме того, в реальных физических системах импульсный отклик, как правило, от-
личен от нуля только на определенном интервале, и, соответственно, пределы интегрирования
(суммирования) в выражениях (3.2.2' и 3.2.3'') ограничиваются значениями, на которых функции h( ) и h(n) существует или имеет значимые значения.
Сигналы, обрабатываемые на компьютере, имеют конечную продолжительность. Допу-
стим, сигнал s(k) отличен от нуля только на отрезке от 0 до K включительно ("имеет длину K+1").
Пусть окно оператора свертки h(n) отлично от нуля на отрезке от – N до N (2N+1 отсчет). При подстановке этих сигналов в уравнение свертки, мы получим сигнал y(k), который отличен от ну-
ля на отрезке от − N до K+N включительно. Таким образом, длина выходного сигнала равна
2N+K+1, т.е. сумме длин исходного сигнала и ядра свертки минус один.