Материал: конспект-лекций
81
ak
= (2/T)
ba
y(x) cos(2 kf1x) dx,
bk
= (2/T)
ba
y(x) sin(2 kf1x) dx.
Разложение сигнала на гармонические функции получило название прямого преобразова-
ния Фурье. Обратный процесс – синтез сигнала по синусоидам – называется обратным преобразо-
ванием Фурье (inverse Fourier transform).
Жан-Батист Жозеф ФУРЬЕ. Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830.
Французский математик. Родился в Осере, в девять лет остался сиротой. Получил образование в церковной школе и военном училище, затем работал преподавателем математики. На про-
тяжении всей жизни активно занимался политикой, арестован в 1794 году за защиту жертв террора, выпущен из тюрьмы после смерти Робеспьера. Принимал участие в создании знаме-
нитой Политехнической школы в Париже. Сопровождал Наполеона в Египет, был назначен губернатором Нижнего Египта. По возвращении во Францию в 1801 году назначен губернато-
ром одной из провинций. В 1822 году стал постоянным секретарем Французской академии наук.
На первых этапах своего развития данное направление разложения функций, получившее название гармонического анализа, имело больше теоретический характер и использовалось, в ос-
новном, в естественных науках для выявления и изучения периодичности и состава периодических составляющих (в том числе скрытых) в различных явлениях и процессах (активность солнца, де-
виация магнитного поля Земли, метеорологические наблюдения, и т.п.). Теория гармонического анализа была развита в работах Дирехле, Гаусса, Римана, Чебышева, Винера и других с распро-
странением на произвольные функции с бесконечным периодом (интегралы Фурье).
Положение резко изменилось с появлением электротехнических и радиотехнических отрас-
лей науки и техники и развитием радиосвязи, где гармонический состав сигналов приобрел кон-
кретный физический смысл, а математический аппарат спектрального преобразования функций стал основным инструментом анализа и синтеза сигналов и систем. В настоящее время спектраль-
ный анализ является одним из основных методов обработки экспериментальных данных во мно-
гих отраслях науки и техники.
Спектральное преобразование функций, по существу, представляет собой представление функций в новой системе координат, т.е. перевод исходных функций на новый координатный ба-
зис. Выбор наиболее рациональной ортогональной системы координатного базиса функций, как правило, зависит от цели исследований и определяется стремлением максимального упрощения математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и другие. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармониче-
ских функций: комплексных экспоненциальных exp(j2 ft) и вещественных тригонометрических синус-косинусных функций, связанных друг с другом формулой Эйлера. Это объясняется тем, что гармонические колебания является функциями времени, сохраняющими свою форму при прохож-
82
дении через любую линейную цепь, изменяются только амплитуда и начальная фаза колебаний,
что очень удобно для анализа систем преобразования сигналов.
Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать беско-
нечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).
Спектральный анализ часто называют частотным анализом. Термин "частотный" обязан происхождением обратной переменной f = 1/|t| временного представления сигналов и функций.
Понятие частотного преобразования не следует связывать только с временными аргументами, т.к.
математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла независимых пере-
менных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту с размерностью 1/|х| - число периодических изменений сигнала на единице длины.
В математическом аппарате частотного анализа удобно использовать угловую частоту 
= 2 f. Для процессов по другим независимым переменным в технической литературе вместо индек-
са частоты f часто используется индекс v, а для угловой частоты индекс k = 2 v, который называ-
ют волновым числом.
4.1.РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПО ГАРМОНИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ [1, 21, 24, 25].
Понятие собственных функций. Удобство использования частотного представления сиг-
налов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями опера-
ций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам. Они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а изменяют лишь фа-
зу и амплитуду.
Допустим, что исходная функция является линейной комбинацией функций синуса и коси-
нуса:
s(х) = А sin(х)+B cos(х).
Осуществим произвольный сдвиг функции по аргументу на величину h. При этом получа-
ем:
s(х+h) = C sin(х)+D cos(х),
C = А cos(h) – B sin(h),
D = A sin(h) + B cos(h),
где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргу-
мента, при этом C2+D2 = А2+В2. Таким образом, при произвольном переносе функции по аргумен-
ту (а равно и при интегрировании, дифференцировании и других линейных преобразованиях) лю-
бую линейную комбинацию синуса и косинуса можно представить линейной комбинацией этих
83
же функций.
Экспоненциальная комплексная запись гармонических функций делает это свойство еще
нагляднее. Для произвольной гармонической функции имеем:
|
cos( t- ) = A cos( t)+B sin( t), |
||
где A = cos( ), B = sin( ), |
- начальный фазовый угол колебания при t = 0. Переходя к ком- |
||
плексной записи данной функции с использованием тождеств Эйлера |
|||
cos( t) = [ехр(j |
t)+exp(-j t)]/2, |
sin( t) = [ехр(j t)-exp(-j t)]/2j, |
|
получаем: |
|
|
|
|
cos( |
t- ) = C exp(j |
t)+C*exp(-j t), |
где: C = 0,5 exp(-j ), C* = 0,5 exp(j |
) – величина, комплексно сопряженная с С. Применяя в каче- |
||
стве гармонической составляющей разложения сигнала функцию ехр(j t), можно рассматривать вторую функцию ехр(-j t), комплексно сопряженную с первой, как такую же составляющую, но с отрицательной частотой. Естественно, что отрицательная частота является чисто математической абстракцией, но нужно помнить, что пара таких комплексно сопряженных составляющих в сумме всегда дает вещественную функцию, т.е. является отображением (образом) вещественной функции в новом математическом пространстве (базис - комплексные экспоненциальные функции).
Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных опера-
ций. Для операции переноса с использованием экспоненциальных функций:
exp[j (t+h)] = exp(j h)·exp(j t) = H( ) exp(j t),
где Н( ) = exp(j h) - собственное значение операции переноса, независимое от переменной.
Для операции дифференцирования: |
|
|
|
|
d[exp(j t)]/dt = j |
exp(j |
t), |
H( |
) = j . |
Для операции интегрирования: |
|
|
|
|
exp(j t) dt = (1/j |
) exp(j |
t), |
H( |
) = 1/j . |
В общей форме, для любых линейных операций преобразования:
Т[exp(j t)] = H( ) exp(j t),
где T[.] - произвольный линейный оператор, H( ) - собственное значение операции, независимое от аргумента.
У специалистов - практиков существует предубеждение против использования комплекс-
ных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и веществен-
ные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока простота и удобство использования последних не станет очевидным.
Ряды Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодиче-
скую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:
84
s(t) =
n
S exp(jn∆ωt), S = S(n∆ω)
|
|
|
|
|
s(t) = |
|
Sn exp(jn t), Sn = S(n ), |
2 /T, |
(4.1.1) |
|
n |
|
|
|
где весовые коэффициенты Sn ряда определяются по формуле:
Sn
= (1/T)
ba
s(t) exp(-jn
t) dt.
(4.1.2)
Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn
t) с частотами,
образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(n
) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых зна-
чений n с шагом по частоте, обратным периоду: |
= |
2 /Т (или f = 1/T). Первую частотную |
составляющую спектра при n = 1, равную 1 = 1 |
= 2 |
/T (или f1 = 1/T), называют основной ча- |
стотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра n 1 при n>1 назы- |
|
вают гармониками сигнала. Значения S(n |
) по положительным и отрицательным значениям n |
являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте 
между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.
С чисто математических позиций множество функций exp(jn
t), - < n < образует бес-
конечномерный базис линейного пространства L2[a,b] ортогональных синус-косинусных функций,
а коэффициенты Sn по (4.1.2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции.
Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (4.1.1) – это бесконечномерный вектор в про-
странстве L2[a,b], точка с координатами Sn по базисным осям пространства exp(jn
t).
Коэффициенты Sn в (4.1.2) отображают функцию s(t) в новое пространство единственным образом. Если функция s(t) непрерывна, то ряд (4.1.1) сходится равномерно к s(t), при этом ошиб-
ка аппроксимации ||s(t)-sN(t)|| функции s(t) с усечением ряда (4.1.1) до ±N членов меньше ошибки аппроксимации любым другим рядом с тем же количеством членов. Если s(t) не является непре-
рывной (имеет разрывы), но конечна по энергии (квадратично интегрируема), то метрика ||s(t)- sN(t)|| стремится к нулю при N → ∞, при этом в точках разрыва сумма ряда стремится к (s(t+)+s(t-
))/2.
Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.1.2) с использованием тождества
Эйлера
exp(±j t) = cos( t) ± j sin( t)
можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:
Sn = (1/T) ba s(t) [cos(n
t) - j sin(n
t)] dt = Аn - jBn. (4.1.3)
85
|
|
b |
|
An ≡ A(n ) = (1/T) |
s(t) cos(n t) dt, |
||
|
|||
|
|
a |
Bn ≡ B(n
) = (1/T) ba s(t) sin(n
t) dt.
(4.1.4)
(4.1.5)
На рис. 4.1.1 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интер-
вале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спек-
тра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(n
) = A(-n
), так как при вычислении значений A(n
) по формуле (4.1.4) ис-
пользуется четная косинусная функция cos(n
t) = cos(-n
t). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(n
) = -B(-n
), так как для ее вычисления по (4.1.5) используется нечет-
ная синусная функция sin(n
t) = - sin(-n
t).
Рис. 4.1.1. Сигнал и его комплексный спектр.
Комплексные числа дискретной функции (4.1.3) могут быть представлены в виде модулей и
аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:
|
|
Sn = Rn exp(j n), |
(4.1.3') |
Rn2 ≡ R2(n |
) = A2(n )+B2(n |
), |
|
n ≡ |
(n |
) = arctg(-B(n )/A(n |
)). |
Модуль спектра R(n |
) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ - амплитуд- |
||
но-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов
(n |
)) - двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазово-частотной характеристикой. Спектр ам- |
|
плитуд всегда представляет собой четную функцию: R(n |
) = R(-n ), а спектр фаз нечетную: |
|
(n |
) = - (-n ). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, пока- |
|
занного на рис. 4.1.1, приведен на рис. 4.1.2. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать пе-
риодичность 2 угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее - про-
исходит сброс значения -2 ).