Материал: конспект-лекций
76
Техника свертки. Для вычисления свертки по выражению (3.2.2') функция импульсного отклика реверсируется по своей координате, т.е. строится в режиме обратного времени, и движется относительно функции входного сигнала в сторону возрастания значений t. В каждый текущий момент времени зна-
чения обеих функций перемножаются, а произведе-
ние интегрируется в пределах окна импульсного от-
клика. Полученный результат относится к той коор-
динатной точке, против которой находится значение импульсного отклика h(0).
На рис. 3.2.2. приведен пример выполнения свертки прямоугольного импульса с импульсным откликом RC-цепи, площадь которого нормирована к
1. Если площадь импульсного отклика h(t) равна 1, то площадь выходного сигнала свертки всегда должна быть равна площади входного сигнала, что можно видеть на верхнем графике рисунка, при этом
одномасштабное сравнение входного и выходного сигналов наглядно демонстрирует характер преобразования сигнала в данной системе. На последующих графиках рисунка демонстрируется вычисление результатов свертки в ряде последовательных точек ti = {3.5, 4, 5, 6, 7} временной оси.
В силу отрицательного знака в аргументах функции s(t- ) интегрирование произведения h( )s(t- ) выполняется назад по времени и может ограничиваться только определенной длиной значимых значений импульсного отклика (которая в данном случае установлена равной r = 4), а
результат относится к начальной точке h(0) импульсного отклика. Так как входной сигнал, рас-
смотренный на рисунке, представляет собой прямоугольный импульс с амплитудой 1, то интеграл свертки в каждой текущей точке расчета равен площади импульсного отклика в пределах границ входного прямоугольного импульса (заполнено точками).
Еще более наглядна техника выполнения цифровой свертки, приведенная на рис. 3.2.3. Для вычисления свертки массив одной из функций (sk - входного или свертываемого сигнала) располагается по ходу возрастания номеров. Мас-
сив второй функции (hn - более короткой), строится парал-
лельно первому массиву в обратном порядке (по ходу уменьшения номеров первого массива или в режиме обрат-
ного времени). Для вычисления yk значение h0 располагается против sk, все значения sk-n перемно-
жаются с расположенными против них значениями hn и суммируются. Результаты суммирования
77
являются выходным значением функции yk, после чего оператор hn сдвигается на один номер k
вперед (или функция sk сдвигается ему навстречу) и вычисление повторяется для номера k+1 и т.д.
Свойства свертки. Для свертки характерны следующие свойства:
1. Дистрибутивность: h(t) * [a(t)+b(t)] = h(t) * a(t)+h(t) * b(t).
2. Коммутативность: h(t) * a(t) * b(t) = a(t) * b(t) * h(t).
3. Ассоциативность: [a(t) * b(t)] * h(t) = h(t) * a(t) * b(t).
Преобразование свертки однозначно определяет выходной сигнал y(t) для установленного значения входного сигнала s(t) при известном значении функции импульсного отклика системы h(t). Обратная задача деконволюции - определение функции s(t) по функциям y(t) и h(t), относится к разряду некорректных, и имеет решение только при вполне определенных условиях. Это объяс-
няется тем, что свертка может существенно изменить частотный спектр сигнала y(t) относительно s(t) и восстановление функции s(t) становится невозможным, если определенные частоты ее спек-
тра в сигнале y(t) полностью утрачены.
Любая практическая система должна быть устойчивой, т.е. для сигналов, конечных по энергии или средней мощности, выходные сигналы также должны быть конечными по этим пара-
метрам. Устойчивость обеспечивается при выполнении условия абсолютной интегрируемости им-
пульсного отклика системы:
|
|
|
|
|h(t)| dt < . |
|
|
|
|
|
|
|
Для систем с m входами и n выходами аналогично определяются парциальные импульсные |
||
отклики hij(t), i = {1,2, ... ,n}, |
j = {1,2, ... ,m}, каждым из которых отображается сигнал на i-м вы- |
|
ходе при поступлении сигнала |
t) на j-й вход. Полная совокупность импульсных откликов обра- |
|
зует матрицу: |
|
|
|
h |
1,1 |
h |
1,2 |
... |
h |
1,m |
|
|
|
|
|
|||
h( ) |
h |
2,1 |
h |
2,2 |
... |
h |
2,m |
|
|
|
|
||||
|
. |
|
. |
. |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
h |
n,1 |
h |
n,2 |
... |
h |
n,m |
|
|
|
|
|
а выражение свертки приобретает вид:
,
Y (t) = h ( ) S (t- ) d
-
Здесь (и в дальнейшем тексте) жирным шрифтом с "крышкой" выделяются векторные ве-
личины.
Системы свертки. Свертка выполняется системой (физическим или программным устрой-
ством). Физические системы, работающие в реальном времени, вычисляют текущее значение вы-
ходного сигнала по всем прошлым значениям входного сигнала, и не могут иметь в своем распо-
ряжении будущих значений входного сигнала. Операторы таких систем являются односторонними
78
(каузальными). Вышеприведенная, нормированная к 1 по площади, функция RC-цепи h(t) = (1/RC) exp(-t/RC), принятая в качестве системного оператора на рис. 3.2.2, является именно таким односторонним каузальным оператором. При сравнении выходного сигнала такой системы с входным нетрудно заметить, что выходной сигнал сдвигается относительно входного сигнала. Для каузальных систем такой "сдвиг по фазе" существует всегда и не может быть исключен (сигнал на выходе системы не может быть раньше сигнала на ее входе).
Входным сигналом программных систем является сигнал в целом, записанный в память вычислительного устройства. При обработке таких данных в распоряжении системы при вычисле-
нии любой текущей точки выходного сигнала имеются как "прошлые" для данной точки, так и
"будущие" значения входного сигнала. Это позволяет создавать системы без сдвига фазы выход-
ного сигнала относительно входного. Для создания таких систем может использоваться два спосо-
ба:
1. Первый способ иллюстрирует рис. 3.2.4. Задается система с односторонним каузальным оператором h( ). Вход-
ной сигнал s(t) пропускается через систему в обычном поряд-
ке, и выполняется свертка g(t) = h( )*s(t). Затем выходной сигнал g(t) реверсируется (g(t)=>g(-t), конец сигнала становит-
ся его началом в порядке возрастания t) и повторно пропуска-
ется через систему, т.е. выполняется свертка y(-t) = h( )*g(-t) .
Полученный сигнал снова реверсируется y(-t) => y(t), и ре-
зультат является окончательным выходным сигналом y(t) си-
стемы.
Три последние операции (реверс g(t) свертка c h( )
реверс выходного сигнала) эквивалентны свертке сигнала g(t) с реверсированным откликом си-
стемы h(- ), и сдвиг по фазе при свертке реверсированного сигнала компенсирует сдвиг по фазе сигнала, полученный при первой свертке. Общий результат операции y(t) = h( )*h(- )*s(t) не имеет сдвига по фазе выходного сигнала относительно входного. Такую операцию приходится выполнять для исключения сдвига фазы при применении рекурсивных фильтров, которые всегда являются односторонними.
2. Выходной результат y(t) = h( )*h(- )*s(t) предыду-
щей операции позволяет, используя свойство коммутативно-
сти свертки, сначала выполнить свертку h( )*h(- ) = h( ) и
получить один системный оператор h( ) (см. рис. 3.2.5),
обеспечивающий свертку без сдвига фазы. Этот системный
оператор является двусторонним и симметричным относи-
Рис. 3.2.5.
тельно = 0. Но использование его возможно только для
79
предварительно записанных сигналов, т.к. при выполнении свертки y(t)= h( )*s(t- ) для отрица-
тельных значений требуются "будущие" значения входного сигнала s(t+ ). Результат свертки с симметричным оператором полностью аналогичен первой операции (сигнал y(t) на рис. 3.2.4).
Приведенное выше формирование двустороннего симметричного оператора свертки имеет чисто познавательный характер. На практике вполне естественным является расчет непосред-
ственно симметричных двусторонних операторов под требуемые задачи обработки числовых дан-
ных (сигналов, зарегистрированных в дискретной числовой форме).
Начальные условия свертки. В начальный момент свертки, при вычислении значений y(ti)
для значений ti < max оператора h( ), функция оператора, построенная в режиме обратного вре-
мени, при >ti "зависает" для значений ti- против отсутствующих значений входной функции.
Пример такого зависания оператора дискретной сверт-
ки против несуществующих отсчетов s-1 и s-2 входного масси-
ва данных при вычислении отсчета у0 приведен на рис. 3.2.6.
Зависание исключают либо заданием начальных условий - до-
полнительных отсчетов, чаще всего нулевых или равных пер-
вому отсчету входной функции, либо началом свертки с от-
счета входной функции ki = nmax с соответствующим сокращением интервала выходной функции на интервал задания системного оператора. Для симметричных операторов со значениями -n (впе-
ред по времени) такой же момент наступает и в конце входного массива, и требует задания конеч-
ных условий или сокращения размера выходного сигнала.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая шко-
ла, 1988.
11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.
80
Лекция 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ
Содержание
1.Разложение сигналов по гармоническим функциям. Понятие собственных функций. Ряды Фурье. Тригонометрическая форма. Параметры эффекта Гиббса.
2.Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа. Интеграл Фурье. Тригонометрическая форма. Преобразование Лапласа. Обобщенный ряд Фурье.
3.Основные свойства преобразований Фурье. Линейность. Свойства четности. Изменение аргумента функции. Теорема запаздывания. Преобразование производной. Преобразование инте-
грала. Преобразование свертки. Преобразование произведения. Производная свертки Спектры мощности. Равенство Парсеваля.
4. Спектры некоторых сигналов. Единичные импульсы. Гребневая функция. Спектр прямо-
угольного импульса. Треугольные импульсы. Экспоненциальный импульс. Функции Лапласа и Гаусса. Гармонические колебания. Радиоимпульс.
ВВЕДЕНИЕ.
Спектральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигналь-
ных функций на периодические составляющие.
Периодичность гармонических колебаний исследовал еще в VI веке до нашей эры Пифагор и даже распространил его на описание гармонического движения небесных тел. Термин "spectrum" ("спектр") впервые применил И. Ньютон в 1571 году при описании разложения солнечного света,
пропущенного через стеклянную призму, на многоцветную полосу. Он же дал и первую матема-
тическую трактовку периодичности волновых движений. В 18-м веке решениями волновых урав-
нений (в приложении к струнам) занимались Даниил Бернулли и Леонард Эйлер. В дальнейших своих работах по математике и физике Д. Бернулли, Л. Эйлер и Ж. Лагранж показали, что произ-
вольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций
– синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы получили название рядов Фурье, после того как в 1807 году французский инженер Жан Батист Фурье обосновал метод вычисления коэффициен-
тов тригонометрического ряда, которым можно отображать с абсолютной точностью (при беско-
нечном числе членов ряда) или аппроксимировать с заданной точностью (при ограничении числа членов ряда) любую периодическую функцию, определенную на интервале одного периода T = b- a, и удовлетворяющую условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным чис-
лом разрывов 1-го рода). Ряды Фурье в вещественной форме имеют следующий вид:
y(x) =(a0/2) + (ak cos(2 kf1x) + bk sin(2 kf1x)), f1 = 1/T.
k 1