Материал: конспект-лекций

86

Рис. 4.1.2. Модуль и аргумент спектра.

Если функция s(t) является четной, то все значения B(n) по (4.1.5) равны нулю, т.к. чет-

ные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nt)

дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными

Рис. 4.1.3. Ортогональность функций.

коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициен-

тов А(n) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.1.3(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функ-

ции, а на рис. 4.1.3(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода.

Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

При n = 0 имеем Во = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

Тригонометрическая форма рядов Фурье. Объединяя в (4.1.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S0), можно пе-

рейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

ственных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффици-

ентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2An, 2Bn) не что иное, как реальные амплиту-

ды соответствующих гармонических колебаний с частотами n. Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот n) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4.1.1, например, он полностью повторяет правую

87

половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения Ао на нулевой частоте, которое, как это следует из (4.1.6), не удваивается). Но такое гра-

фическое отображение спектров используется довольно редко.

В технических приложениях более широкое применение для отображения физически ре-

альных спектров находит формула (4.1.6'). Спектр амплитуд косинусных гармоник 2Rn при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармо-

ник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответ-

ствующих двусторонних спектров (см. рис. 4.1.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или , для нечет-

ных соответственно /2.

Рис. 4.1.4. Разложение сигнала в комплексный ряд Фурье.

На рис. 4.1.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выпол-

ненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Лю-

бой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100

членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда Sn и только по области положительных значений n.

Программа на рис. 4.1.5 продолжает программу рис. 4.1.4 и показывает реконструкцию сигнала по его спектру при ограничении числа членов ряда Фурье.

88

Рис. 4.1.5. Реконструкция сигнала (продолжение программы на рис. 4.1.4)

На верхнем графике рисунка приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = s/, N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естествен-

но, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сиг-

нал к форме исходного сигнала.

Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса. При изменении количества суммиру-

емых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту по-

следовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу),

изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции. Пример явления Гиббса для радиоимпульса приведен на рис.

89

4.1.6 (использована программа на рис. 4.1.4, точками показан реконструированный сигнал с уве-

личением масштаба в 10 раз).

Рис. 4.1.6.

На рис. 4.1.7 приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумо-

вым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределение энергии шумов по всем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информаци-

онного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только инфор-

мационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму средне-

квадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигна-

лу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции инфор-

мационного сигнала.

90

Рис. 4.1.7.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (огра-

ниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее по-

ведение за пределами данного интервала. Однако сле-

дует помнить, что применение формул (4.1.1-4.1.6) ав-

томатически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в

обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом по-

вторении, как это видно на рис. 4.1.8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее яр-

ко.

Параметры эффекта Гиббса. Большинство методов анализа и обработки сигналов пред-

ставляют собой или имеют в своем составе операцию свертки сигналов с функцией оператора свертки. Как сигнал, так и оператор свертки, выполняющий определенную задачу обработки дан-