Материал: конспект-лекций
91
ных и реализующий определенную частотную функцию системы обработки, могут быть беско-
нечно большими. Практика же обработки на ЭВМ может иметь дело только с ограниченными множествами и данных, и коэффициентов оператора. В общем случае, эти ограниченные множе-
ства "вырезаются" из бесконечных множеств, а разложение в ряды Фурье, также ограниченные по размерам, является одной из самых распространенных операций обработки цифровых множеств. С
учетом этого рассмотрим явление Гиббса более подробно, т.к. при любых ограничениях рядов Фурье оно всегда может весьма существенно сказаться на качестве и точности обработки сигна-
лов.
Очевидно, что при усечении ряда Фурье (4.1.1) любой функции до конечного числа членов
N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:
S (x) = ∑ =− S(n) exp(jxn∆ω) , |
(4.1.7) |
при этом происходит усечение спектральной характеристики функции до частоты n |
и сходи- |
мость суммы остающихся членов ряда sN(x) к исходной функции s(x) ухудшается в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах,
скачках) функций:
- крутизна перепадов "размывается", т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нуле-
вой точке) последней сохраненной гармоники ряда (4.1.7);
- по обе стороны "размытых" перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с
частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (4.1.7).
Рассмотрим явление Гиббса на примере разложения в ряд Фурье функции единичного
скачка s(x), которая имеет разрыв величиной 1 в точке х = 0. Уравнение функции: s(x) = -0.5 при –T/2 ≤ x
0; s(x) = 0.5 при 0 x ≤ T/2.
Поскольку функция является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и ко-
эффициенты ряда в односторонней тригонометрической форме определяются выражением (с уче-
том соотношения |
= 2 |
/T): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
b |
= |
∫2 |
( ) ( ∆ ) = |
∫2 ( ∆ ) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
2 |
, |
− нечётное |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
= 0, |
− чётное |
||||
92
Рис. 4.1.9. Значения коэффициентов bn.
Как видно на рис. 4.1.9, ряд коэффициентов bn затухает очень медленно. Соответственно,
медленно будет затухать и ряд Фурье функции s(x): |
|
|
|
s(x) = (2/ )[sin x |
+ (1/3)·sin x3 |
+ (1/5)·sin x5 |
+....]. |
s(x) = (2/ )
n 0
sin[x(2n+1)
]/(2n+1).
(4.1.8)
Этот ряд при усечении до M нечетных членов можно записать в следующем виде:
s(x) = (2
/ )
M n 0
0x cos(x(2n+1)
dx = (2 |
/ ) 0x [ |
M n 0
cos(x(2n+1)
] dx.
Сумма косинусного ряда равна sin[2(M+1)x
|
Δω |
|
x |
|
|
||
sM(x) = |
π |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
]/(2sin x
). Отсюда:
sin 2(M +1)x ω |
dx |
|
|
sin x ω |
. |
|
(4.1.9)
Для определения местоположения максимумов и минимумов возникающих осцилляций функции, приравняем к нулю ее первую производную (подынтегральную функцию) выражения
(4.1.9), при этом:
xk = k /(2
(M+1)) = kT/(4(M+1)) , k = 1,2,...
Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции при-
ходится на точки xk=1 = T/(4(M+1)), вторых (противоположных по полярности) - на точки xk=2 =
T/(2(M+1)). Период пульсаций равен xk=3-xk=1 ≡ 2xk=1 = T/(2(M+1)), т.е. на одном периоде зада-
ния сигнала появляется 2(М+1) пульсация с частотой, обратным периоду и равной 2(M+1) f – ча-
стоте последнего сохраненного в суммировании члена ряда Фурье. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции s(x) на
точке периода Т значения хk являются значениями xk относительно точки скачка. Амплитудные значения функции в точках х1 и х2 (при подстановках х1 и х2 верхним пределом в (4.1.9)) практи-
чески не зависят от количества членов ряда М и равны:
sM(x1) 0.5+0.09, |
sM(x2) 0.5-0.05. |
Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает. |
|
Реконструкция скачка при трех значениях ряда приведена на рис. 4.1.10. Как и положено,
функция продолжается периодически за пределами заданного интервала (-Т/2, Т/2), при этом на границах периодов также образуются скачки. Скачки являются центрами возникающих осцилля-
ций. Наложение осцилляций друг на друга в зависимости от расстояния между их центрами может
93
как уменьшать амплитуду пульсаций, так и увеличивать.
Рис. 4.1.10. Реконструкция скачка по ограниченному раду Фурье при М=3.
Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна T/(2(M+1)), а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)T/(2(M+1)). Это явление типично для всех функций с разрывами.
4.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА [1,24,25].
Интеграл Фурье. Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных),
зарегистрированных на интервале Т, могут быть получены из уравнений для рядов Фурье как пре-
дельные значения функций суммирования при расширении периода Т до бесконечности. |
|
|||
|
|
|
Зададим периодическую последова- |
|
|
|
|
||
|
|
|
тельность импульсов и разложим импульс |
|
|
|
|
на одном периоде Т в ряд Фурье (формула |
|
|
|
|
4.1.2). Не меняя положения импульса на |
|
|
|
|
интервале Т, увеличим значение Т в два |
|
|
|
|
раза (продлеваем интервал нулями), при |
|
|
|
|
этом выражение (4.1.2) для вычисления |
|
|
|
|
спектра остается без изменения, но по ней |
|
|
|
|
рассчитывается в 2 раза большее количе- |
|
|
|
|
ство гармоник с уменьшением в 2 раза ча- |
|
|
Рис. 4.2.1. |
|||
|
стоты первой гармоники и шага |
=2 /T. |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Увеличение интервала Т не влияет на результаты вычисления интеграла функции (4.1.2), т.к. ин-
тервал продления заполнен нулевыми значениями сигнала.
По существу, при увеличении периода Т без изменения финитного сигнала форма спектра по оси частот остается без изменения, изменяется только шаг дискретизации спектра и, за счет множителя 1/Т, в 2 раза уменьшаются значения спектра. Новые гармоники располагаются в интер-
валах между гармониками первого ряда. Пример изменения спектра при увеличении периода Т в 2
94
раза приведен на рис. 4.2.1.
Процесс можно продолжить дальнейшим последовательным увеличением периода, при этом спектр будет приближаться к непрерывной функции. В пределе, при T , периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, расстояние между
гармониками 1/Т = |
/2 уменьшается до d /2 , дискретные частоты n |
при |
0 обра- |
щаются в непрерывные текущие значения, а суммирование амплитудных значений |
заменятся ин- |
||
тегрированием. При этом фазовый и амплитудный спектр становятся непрерывными, а сами зна-
чения спектра становятся бесконечно малыми (1/Т = d /2 0). Для исключения последнего уравнение для спектра нормируем на d /2
S'( ) = (d /2
)
s(t) exp(-j t) dt → S'( ) 2 /d
= |
|
|
s(t) exp(-j t) dt = S( ),
где S( ) из значений спектра S'( ) превращается в плотность распределения значений спектра, и
возвращаем нормировку при восстановлении сигнала по спектру:
s(t) = (d /2 )
n
S( ) exp(jn
t) → (1/2
)
S( ) exp(j t) d .
Таким образом, интегральное преобразование Фурье приобретает следующий вид:
|
|
|
|
|
s(t) = (1/2 ) |
S( ) exp(j t) d , |
|||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( ) = |
|
s(t) exp(-j t) dt. |
||
|
|
|||
|
|
|
||
(4.2.1)
(4.2.2)
Формулу (4.2.2) обычно называют формулой прямого преобразования Фурье, а формулу
(4.2.1) – обратного преобразования Фурье. Этими выражениями устанавливается взаимно одно-
значная связь сигнала и его спектра, а точнее – плотности спектра сигнала в последовательной по-
лосе малых (стремящихся к нулю) полосах частот. Эту величину называют спектральной плотно-
стью сигнала. Спектральные функции содержат ровно столько информации, сколько и исходный сигнал.
При преобразовании сигнала в пространство гармонических частот и обратно формулы прямого и обратного преобразований Фурье тождественны за исключением знака аргументов экс-
поненты:
s(t) = S(f) exp(j2 ft) df,
S(f) = |
|
|
s(t) exp(-j2 ft) dt. |
|
|||
|
|
||
|
|
|
|
(4.2.1')
(4.2.2')
95
На рис. 4.2.2 сплошной кривой приведен пример непрерыв-
ного сигнала s(t), энергия которого сосредоточена на конечном ин-
тервале T = (0,25). Если нас не интересует форма данного сигнала за пределами интервала Т, то спектр сигнала в виде ряда Фурье можно определить по формуле (4.1.2). При обратном преобразова-
нии Фурье по формуле (4.1.1), т.е. при восстановлении сигнала по его спектру, в интервале Т будет восстановлен исходный сигнал s(t). Но если интервал для вос-
становления будет задан больше интервала Т, например равным 0-2Т, то за пределами этого ин-
тервала начнется периодическое повторение исходного сигнала, как это показано пунктиром на рис. 4.2.2. Если такой процесс нежелателен и за пределами интервала Т должны быть сохранены нулевые значения сигнала, то необходимо использовать интегральное преобразование Фурье
(4.2.1, 4.2.2). При этом следует учитывать особенности интегрального преобразования.
Спектральная функция S( ) представляет собой комплексную спектральную плотность сигнала, непрерывную на частотном интервале от - до . Если s(t) – вещественная функция, то
спектр этой функции является сопряжено симметричным относительно нулевой частоты
S(- |
) = S*( |
) |
|
и содержит четную действительную и нечетную мнимую части: |
|
||
S( |
) = A( |
) - jB( ), |
(4.2.3) |
A(
B(
) =
) =
s(t)cos(
s(t)sin(
t)dt,
t)dt.
(4.2.4)
(4.2.5)
Как и в случае рядов Фурье, вещественные четные функции имеют вещественный четный спектр, представленный только спектральной функцией A( ), а вещественные нечетные – нечет-
ный и только мнимый спектр, представленный спектральной функцией B( ).
Пример спектральной функции S(f) для сигнала s(t) на рис. 4.2.2 приведен на рис. 4.2.3. Как правило, графическое отображение спектральных функций выполняется в виде модуля и аргумен-
та спектральной функции (амплитудного и фазового спектра), приведенных на рис. 4.2.4.
Рис. 4.2.3. Рис. 4.2.4.
Такое представление аналогично (4.1.3'):