Материал: конспект-лекций
96
R( |
) = |
2 |
2 |
(4.2.6) |
A ( ) B ( ) , |
||||
( |
) = arctg(-B( |
)/A( )), |
(4.2.7) |
|
но в отношении функции модуля также имеет смысл спектральной плотности модуля.
Заметим также, что сопряженная симметричность спектральной функции позволяет в фор-
мулах (4.2.1)-(4.2.2) менять местами знаки аргументов в экспонентах, при этом изменяется только
знак мнимой части и аргумента спектра.
Еще раз подчеркнем различие между спектрами и спектральными функциями сигналов.
При практическом использовании формулы (4.2.2) для вычисления спектральных функций конеч-
ных сигналов, заданных на определенном интервале Т, пределы интегрирования обычно устанав-
ливаются по границам интервала Т, так как нет необходимости выполнять интегрирование в бес-
конечных пределах, если за пределами интервала Т мы имеем нулевые (или незначимые) значения сигнала. Однако при сравнении формулы (4.2.2) с выражением (4.1.2) можно наглядно видеть, что значения интеграла (4.2.2) не нормируются на величину интервала Т. Отсюда следует, что число-
вые отсчеты значений модуля функции S( |
) для определенных значений |
i не являются ампли- |
|
тудными значениями соответствующих гармонических колебаний с частотой |
i. Значения S( ) по |
||
сравнению со значениями функции S(n |
) по (4.1.2) при n |
= i завышены на множитель Т. |
|
Это можно объяснить тем, что обратное преобразование Фурье по (4.1.1) представляет собой пря-
мое суммирование гармоник с соответствующими амплитудами колебаний, в то время как инте-
грирование по (4.2.1) представляет собой предельное суммирование значений S( i) d |
i, где d = |
2 /T (или, в обычном частотном представлении, df = 1/T) при Т . |
|
Что касается спектра фазовых углов, то значения по (4.2.7) и по (4.1.3') при n |
= i пол- |
ностью совпадают, так как их вычисление производится по отношению мнимой и действительной части спектра, наличие (или отсутствие) постоянного множителя в которых не меняет значение отношения.
Тригонометрическая форма интеграла Фурье (при объединении комплексно сопряженных
частей спектральных функций):
|
|
|
|
|
|
s(t) = (1/2 |
) [A( |
)cos( |
t)+B( |
)sin( t)] d . |
(4.2.8) |
|
|
|
|
|
|
s(t) = (1/2 |
) R( |
)cos( |
t - ( |
d . |
(4.2.8') |
Прямое и обратное преобразование Фурье подобны. Любая теорема, доказанная для прямо-
го преобразования Фурье, справедлива и для обратного преобразования, и наоборот. Это непо-
средственно следует из выражений прямого и обратного преобразования Фурье, которые различа-
ются только знаком в экспоненте. Особенно наглядно (см. рис. 4.2.5) это видно для четных сигна-
лов (заданных функциями, симметричными относительно t = 0), для которых В( ) = 0 и, соответ-
ственно, фазовый спектр равен нулю:
97
|
|
|
|
s(t) = 2 |
S(f)cos(2 ft)df, |
||
|
|||
|
|
0 |
S(f) = 2
0
s(t)cos(2 ft)dt.
В математическом анализе для упрощения записей используют символическую форму обозна-
чения преобразования Фурье:
s(t) S(f), s(t) S( ),
где, в общем случае, как фурье-образ функции, так и она сама могут быть комплексными.
Для физических сигналов и их достаточно
корректных математических моделей преобразова-
Рис. 4.2.5.
ние Фурье, как правило, всегда существует. С чисто математических позиций сигналу s(t) можно сопоставить спектральную плотность S( ), если существует интеграл:
|s(t)| dt < .
(4.2.9)
Преобразование Лапласа. Если условие (4.2.9) не выполняется, то определенные прибли-
жения спектральных плотностей вычисляются с использованием специальных методов, одним из которых является одностороннее преобразование Лапласа.
Допустим, что функция s(t) задана на интервале (0,
), равна нулю при t<0, а интеграл спектральной функции
(4.2.2) расходится. Умножим s(t) на экспоненциальную функцию exp(- t), где - положительная константа, и вы-
берем значение 
таким, чтобы произведение u(t) = s(t) exp(- t) удовлетворяло условию абсолютной интегри-
руемости. Сущность данной операции хорошо видна на рис. 4.2.6 ( =с). Интегрируемость функции u(t) может
быть установлена для любой функции s(t) соответствую-
Рис. 4.2.6.
щим выбором коэффициента . При этом спектральная плотность функции u(t) может быть вычислена по формуле (4.2.2):
|
|
U( , ) = 0 |
[s(t) exp(- t)] exp(-j t) dt. |
После объединения экспоненциальных функций это выражение можно переписать следу-
ющим образом:
|
|
|
|
U( +j ) = |
s(t) exp[-( +j t] dt. |
||
|
|||
|
|
0 |
Соответствующее обратное преобразование Фурье функции U( +j ):
(1/2 ) U( +j ) exp(j t) d = s(t) exp(- t).
(4.2.10)
Для восстановления функции s(t) достаточно умножить обе части данного выражения на
98
exp( t), объединить экспоненциальные множители под интегралом и заменить переменную инте-
грирования на +j :
s(t) = (1/2 j)
j- j
S( +j ) exp[( +j
t]
d( +j
2
1
Обозначим комплексную переменную +j в выражениях (4.2.10,4.2.11) через р (оператор Лапласа) и получим общепринятую форму прямого и обратного преобразования Лапласа:
S(p) =
0
s(t) exp[-pt] dt. |
|
|
(4.2.10') |
|
|
j |
|
s(t) = (1/2 |
j) |
|
S(p) exp(pt) |
|
|
- j |
|
dp |
2 1' |
|
Сигнальную функцию s(t) в преобразованиях |
|
|
|
Лапласа обычно называют оригиналом, а ее спек- |
|
тральную функцию S(p) - изображением оригинала. |
|
Пример спектральной функции Лапласа для ориги- |
|
нала - сложного и неограниченного во времени сиг- |
|
нала, состоящего из каузальной суммы трех гармо- |
Рис. 4.2.7. Сигнал и его спектральная |
ник, приведен на рис. 4.2.7. По спектральной функ- |
|
|
ции Лапласа можно выделить эти три основных частоты сигнала и оценить соотношение их ам-
плитуд. Ширина пиков спектральной функции при выделении "чистых" гармоник зависит от зна-
чения коэффициента и уменьшается при его уменьшении.
Преобразование Лапласа справедливо только в области сходимости интеграла (4.2.10), ко-
торая определяется абсциссой абсолютной сходимости 0 (при ≥ 0):
0
|s(t) exp(-( +j )t)| dt =
0
|s(t)| |exp(-j t)| exp(- t) dt =
0
|s(t)| exp(- t) dt < ∞.
Если вместо р в изображениях оригинала подставить переменную j , то будут получены спектральные функции, полностью идентичные преобразованию Фурье каузальных функций
(имеющих нулевые значения при t<0).
Обобщенный ряд Фурье. Тригонометрические функции не является единственно возмож-
ными функциями разложения сигналов. В общем случае разложение сигнала s(t) на интервале (a,
N |
|
b) в ряд вида ck k(t) может быть выполнено по произвольным функциям k(t). При задании |
|
k 0 |
|
минимальной погрешности приближения |
|
s = ab [s(t) - |
N |
ck k(t)]2 dt |
|
|
k 0 |
99
коэффициенты ck могут быть найдены из системы линейных уравнений:
s = bck a
|
|
c |
k |
|
[s(t) -
N k 0
ck k(t)]2 dt = 0, k = 0,1,2,…N.
При линейной независимости функций k(t) данная система уравнений имеет единственное решение. Если все функции k(t) взаимно ортогональны и соответствующей нормировкой обеспе-
чена их ортонормированность
ba
m(t)
n(t) dt =
1,0,
n n
m
m
,
то процесс нахождения коэффициентов ck оказывается наиболее простым:
ck =
ba
s(t)
k(t) dt,
и для принятого значения N погрешность приближения s является минимальной. Если при N
имеет место s 0, система функций k(t) называется базисной системой координат простран-
ства сигналов L2[a, b] . При этом имеет место равенство:
s(t) =
k 0
ck k(t).
Разложение по ортонормированной системе базисных функций называется обобщенным ря-
дом Фурье, а набор коэффициентов ck представляет собой спектр функции s(t) в соответствующем базисе. В зависимости от специфики решаемых задач применяются различные системы базисных функций. В частности, используются разложения по полиномам Лежандра, Чебышева, Лагерра,
Эрмита, функциям Хаара и Уолша и т.п.
4.3. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ [1, 17, 21].
Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации
сигналов и их спектров.
1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных опера-
ций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.
|
ansn(t) |
|
anSn( ). |
(4.3.1) |
|
|
|||
n |
|
n |
|
|
Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 4.3.1:
100
Рис. 4.3.1. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) S1( )+S2( ) = S0( ).
Сигнал s(t) |
Спектр S( ) |
|
|
Четный |
Вещественный, четный |
|
|
Нечетный |
Мнимый, нечетный |
|
|
|
|
2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действи-
тельными) и синусными (нечетными, мнимыми)
частями разложения и подобием прямого и обрат-
ного преобразований.
На рис. 4.3.2. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть.
Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3( ), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.
Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте
(в интервале 0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.
Рис. 4.3.2. Свойства четности преобразования.
3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля.
Действительно, если s(t) S( ), то при изменении длительности сигнала с сохранением его фор-
мы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при