Материал: конспект-лекций

s(at) (1/a) S( /a). (4.3.2')

Выражение (4.3.2') действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигна-

ла относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы,

например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 4.3.1. для сигналов s1(k) и s2(k) и их спектров S1( ) и S2( ).

От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей отображе-

ния сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t=1 секунда, масштаб оси частот f=1/t=1 герц, а при t=1 мксек f=1/t=1 МГц (t=at, f=1/at, a=10-6).

4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал to приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гар-

моник) на величину - to без изменения модуля (амплитудной функции) спектра. Применяя заме-

ну переменной t-to = x, получаем:

Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не

Рис. 4.3.3. Изменение спектра сигнала при его сдвиге.

Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на to=1, и соответ-

102

ствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 4.3.3.

Аналогично нетрудно показать, что сдвиг спектра в частотной области на 0 вызывает умножение сигнала на exp(j 0t):

S( - 0) s(t) exp(j 0t),

что эквивалентно модуляции сигналом комплексной экспоненты во временной области.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области про-

стым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной обла-

сти j , что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jприводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

Рис. 4.3.4. Спектры сигнала и его производной.

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 4.3.4.

По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть,

6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s(t) = d[y(t)]/dt j

103

Рис. 4.3.5. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.

Оператор интегрирования в частотной области (1/j ) при >1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при <1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -900

для положительных частот и на 900 для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его ин-

тегральной функции приведены на рис. 4.3.5.

Формула (4.3.7) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При инте-

грировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С=const в правой ча-

сти выражения (4.3.7) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой дельта-функцию на нулевой частоте с весовым ко-

эффициентом, равным значению С:

Рис. 4.3.6. Сигналы и амплитудные спектры сигналов.

Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 4.3.6. Отметим, что ча-

стотное представление H( ) импульсного отклика h(t) линейной системы (или соответствующей

104

линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет опреде-

лить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H( ) представляет собой распре-

деление по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на вы-

ход системы (операции).

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном

представлении произведением фурье-образов этих функций.

Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных.

Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует опреде-

ленную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s(t)

с оператором системы h( ). С использованием преобразования свертки эта операция может про-

изводиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом об-

работка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной об-

ласти, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной об-

ласти. Она представляет собой последовательность следующих операций.

задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во вре-

менной области потребуются операторы h( ) с бесконечной импульсной характеристикой. 3. Перевод спектра обработанного сигнала во временную область: Y( ) y(t).

8. Преобразование произведения сигналов y(t) = s(t)·h(t):

Таким образом, произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2 ),

учитывающем несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s(t) и h(t)

при использовании угловых частот.

9. Производная свертки двух функций s'(t) = d[x(t) * y(t)]/dt. С использованием выражений

(4.3.6) и (4.3.8), получаем:

s'(t) = j [X( ) Y( )] = (j X( )) Y( ) = = X( ) (j Y( ). s'(t) = x'(t) * y(t) = x(t) * y'(t).

105

Это выражение позволяет выполнять вычисление производной сигнала с одновременным сглаживанием весовой функцией, которая является производной сглаживающей функции (напри-

мер, гауссиана).

10. Спектры мощности. Временная функция мощности сигнала в общей форме определя-

ется выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = |s(t)|2.

Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произве-

дения s(t)·s*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

W(f) = S(f) * S*(f) = S(f) S*(f-v) dv. (4.3.10)

Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник

S(f) и S*(f-v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

W(f) = S(f) * S*(f) = |S(f)|2. (4.3.11)

Спектр мощности - вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сиг-

нала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не от-

ражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно име-

ем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

Wxy(f) = X(f) Y*(f),

Wyx(f) = Y(f) X*(f), Wxy(f) = W*yx(f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[Wxy(f)] - четная функция, а Im[Wxy(f)] - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия опре-

деляется только реальной частью спектра:

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математиче-