Материал: конспект-лекций
106
ские отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:
|
|
|
|
|
|s(t)|2 dt = |
|S(f)|2 df, |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра - сумме энергий всех частот-
ных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:
x(t) y*(t) dt =
X(f) Y*(f) df.
Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нор-
мы относительно преобразования Фурье:
x(t),y(t) = X(f),Y(f) , ||x(t)||2 = ||X(f)||2.
Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2 .
4.4. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ СИГНАЛОВ [1, 16].
1. Единичные импульсы. Функция (t), центрированная относительно t = 0, значения кото-
рой по определению равны нулю при t 
0, a интеграл от - до равен 1, имеет равномерное спектральное распределение в бесконечной полосе частот от 0 до :
TF[
(t)] =
(t) exp(-j t) dt = 1. |
(4.4.1) |
Это следует и из свойства свертки функций, поскольку свертка функции с бесконечно ко-
ротким импульсом с единичной площадью не должна приводить к изменению функции:
s(t) * (t) = s(t).
Выполняя преобразование Фурье правой и левой части данного выражения, имеем:
|
|
|
S( |
) H( ) = S( ), |
|
|
|
|
что может быть реализовано только при H( |
) = 1. |
|
|
|
|
|||
|
Отсюда следует также, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразова- |
|||||||
ния Фурье: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
exp(j |
t) d . |
|
(4.4.2) |
||
|
|
|
|
С учетом теоремы запаздывания (4.3.3), для обоб- |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
щенной функции Дирака соответственно имеем: |
|||||
|
|
|
|
|
(t- |
) exp(-j |
). |
(4.4.1') |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.4.1. Спектр функции |
|
|
t- |
) = (1/2 |
) exp(j |
(t- )) d . |
(4.4.1") |
|
|
|||||||
|
Пример спектра функции приведен на рис. 4.4.1. |
|
|
|
||||
|
Для единичного импульса с площадью, равной Р: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р (t) |
Р. |
|
|
|
107
Если спектром весовой дельта-функции является константа, то на основе дуальности пре-
образования Фурье спектром константы должна быть весовая дельта-функция в нуле частотной оси.
|
|
|
|
|
С С ( |
). |
|
|
Представить графически эту операцию для непрерывных |
||||
|
функций невозможно. Но для дискретных спектральных функций с |
|||||
Рис. 4.4.2. |
использованием весового импульса Кронекера она имеет вполне |
|||||
|
||||||
реальный смысл (рис. 4.4.2). |
|
|
|
|
|
|
С учетом дуальности преобразования Фурье, для |
-функций в спектральной области соот- |
|||||
ветственно имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
o |
exp(j( |
t) dt. |
(4.4.3) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Гребневая функция ШT(t) представляет собой последовательность импульсов Дирака с периодом Т = 1/F, где F- частота следования импульсов:
ШТ(t) =
к
(t-kT).
Спектр гребневой функции (с учетом теоремы запаздывания при f = 1/T = F) также пред-
ставляет собой последовательность импульсов Дирака:
ШТ(t) = (1/Т)
к
exp(-2 jn ft)
(1/T)
к
(f-kF) = F·ШF(f). |
(4.4.4.) |
|
3. Спектр прямоугольного импульса Пr(t) амплитудой U |
||||
|
и длительностью r (рис. 4.4.2). При расположении начала коор- |
||||
|
динат по центру импульса: |
|
|
|
|
|
|
|
r / 2 |
|
|
|
Пr( |
) = Пr(t)exp(-j |
t) dt = U r / 2 |
exp(-j |
t) dt, |
Рис. 4.4.2. П - импульсы |
Пr( |
) = rU sin( r/2)/( |
r/2) = rU sinc( |
r/2). |
(4.4.5) |
|
|||||
Вид функций Пr( ) приведен на рис. 4.4.3. Представлена только часть частотного диапазо-
на, в остальной части диапазона постепенно затухающие флюктуации спектров, которые, чисто теоретически, простираются до бесконечности.
Как и следовало ожидать, для вещественной и четной динамической П-функции спектр сигнала также является вещественной и четной функцией частоты. Спектр имеет лепестковый ха-
рактер, и ширина лепестков (по пересечениям нулевой линии) обратно пропорциональна длитель-
ности импульсов и равна 2 /r. Значение спектральной плотности на нулевой частоте равно пло-
щади импульсов.
108
Рис. 4.4.3. Спектры П - импульсов. |
Рис. 4.4.4. Спектры П- |
импульсов
Функция вида sin(x)/x в анализе сигналов встречается довольно часто и имеет специальное обозначение: sinc(x) = sin(x)/x. Она называется интегральным синусом или функцией отсчетов.
На рис. 4.4.4 приведены нормированные по площади спектры этих же импульсов. При сравнении спектров с рис. 4.4.2 можно наглядно видеть характер зависимости ширины спектров
(по ширине главного максимума) от длительности импульсов. Нетрудно также заметить, что фор-
ма спектра П - импульсов остается практически постоянной и только "растягивается" по шкале ча-
стоты при уменьшении длительности импульсов. Чем шире сигнал, тем короче его спектр.
Если прямоугольный импульс начинается в момент времени to, то имеем:
П(
)= U
tt
0
0
r
exp(-j t)dt = rU sinc( r/2)exp[-j (to-r/2)].
(4.4.6)
Это выражение может быть получено непосредственно из (4.4.5) с использованием теоремы смещения. Вид функций П( ) при r = 50 и to = 50 приведен на рис. 4.4.5.
Как видно на рисунке, спектр сигнала, несиммет-
ричного относительно t = 0, имеет две части: четную действительную A( ) = Re(П( )), и нечетную мнимую
B( ) = Im(П( )),. Модуль спектра R( ) = |П( )| всегда четный, имеет только положительные значения и полно-
стью повторяет |Пr( )| четного импульса (при смещении начала координат в центр импульса).
При изменении величины сдвига импульса модуль
спектра остается без изменений, т.к. амплитуда частот-
Рис. 4.4.5. Спектр задержанного П-
ных составляющих сигнала зависит только от его формы и не меняется от места расположения сигнала на координатной оси. Сдвиг сигнала определяет его фазовый спектр, пример которого для задержанного П-импульса приведен на рис. 4.4.6.
109
Заметим, что фактический фазовый спектр имеет непрерывный характер. Пилообразная форма кривых на рис. 4.4.6 объясняется периодическим сбросом действи-
тельных значений фазы сигнала на величину .
Учитывая, что значения функций на отрицатель-
Рис. 4.4.6. Фазовый спектр задержан-
ных частотах спектра всегда в одном и том же порядке однозначно соотносится со значениями на положительных частотах (четные функции А( ) и
R( ), нечетные функции B( ) и ( )), в дальнейшем двусторонние спектры сигналов будем при-
водить только для области положительных частот.
Для количественной характеристики соотношения формы сигналов и их спектров приме-
няют понятие базы сигнала, под которой понимают произведение эффективных значений дли-
тельности сигнала и ширины его спектра. Конкретное значение базы сигнала зависит от способа
определения этих параметров. Для сигналов простой формы значение базы обычно составляет не-
сколько единиц. Если для прямоугольного импульса эффективную ширину спектра принять по длительности центрального пика (2 /r), то значение базы сигнала будет равно 2 .
Длительности сигналов и ширина их спектров связаны принципом неопределенности, кото-
рым устанавливается, что значение их произведения (база сигналов) не может быть меньше 1.
Этим устанавливается, что не может существовать коротких сигналов с узким спектром. Напро-
тив, максимальное значение базы сигналов не ограничивается, и могут существовать сигналы с
большой базой, имеющие как большую длительность, так и широкий спектр. |
|
|
Если прямоугольные импульсы повторяются с периодом Т, то соответственно при |
= |
|
1/Т имеем: |
|
|
Пr(k ) = (rU/T) sinc(k r/2)exp(-jk (to-r/2)). |
(4.4.7) |
|
Как и положено, спектр периодического сигнала дискретен по , а при снятии нормировки спектра на длительность периода (умножением на Т) огибающая спектра повторяет выражение
(4.4.6).
4. Треугольные импульсы длительностью r по основанию с площадью, равной Р, могут быть получены сверткой двух прямоугольных импульсов длительностью r/2 с амплитудой 2Р/r,
откуда:
s(t) = Пr/2(t) * Пr/2(t) S( ) = Пr/2( )Пr/2( ), S( ) = P sinc2( r/4).
Спектр треугольного импульса также имеет лепестковую структуру с шириной лепестков
4 /r. Соответственно, база треугольного импульса равна 4 . Спектральная функция за счет квад-
ратирования интегрального синуса имеет только положительные значения.
Аналогично можно получить и спектры трапеций (при разной длительности П-импульсов).
Примеры импульсов и сопоставление формы их нормированных спектров (делением зна-
110
чений S( ) на площадь импульсов - значение S(0)) приведены на рис. 4.4.7.
Рис. 4.4.7. Форма и спектры импульсов.
Заметим, что обратная операция – аппроксимация спектра сигнала произведением спектров простых сигналов с последующим переводом спектров в координатную область, позволяет пред-
ставить сложный исходный сигнал в виде свертки более простых сигналов.
5. Экспоненциальный импульс s(t) = U exp(-at), t 0, a > 0. Функция exp(-at) только услов-
но может быть названа импульсом, т.к. определена и при t , но при а > 0 она достаточно
быстро затухает. Преобразование Фурье экспоненциального импульса, как произвольного одно-
стороннего сигнала, имеет действительную и мнимую части:
|
|
|
|
|
S( ) = U |
exp(-(a+j )t) dt = U/(a+j ). |
(4.4.8) |
||
|
||||
|
|
0 |
|
Функция S( ) бесконечна по частоте. Форма импульса, модуль и аргумент его спектра (фа-
зовая характеристика в градусах) приведены на рис. 4.4.7.
Рис. 4.4.7. Форма и спектр экспоненциального импульса.
6. Функции Лапласа и Гаусса. Для функции Лапласа (экспонента по модулю t) имеем сле-
дующее преобразование:
U exp(-a|t|) 2aU/(a2+ 2), a>0. |
(4.4.9) |
Форма функции (при U=1, а=0.1) и ее вещественный спектр (функция четная и представле-
на только действительной частью) приведены на рис. 4.4.8.
Рис. 4.4.8. Функция Лапласа |
|
|
Рис. 4.4.9. Функция Гаусса. |
|
Преобразование для центрированной функции Гаусса: |
|
|||
|
|
|
|
|
U exp(-pt2) |
U π/p exp(- 2/4 ). |
(4.4.10) |
||