Материал: конспект-лекций

111

Спектр центрированной функции Гаусса - также функция Гаусса. Форма функции (при

U=1, а=0.0.003) и ее вещественный спектр приведены на рис. 4.4.9. Если эффективную длитель-

ность и ширину спектра гауссовых функций определять по уровню 1/е от максимума ( =2/а, =a), то база сигнала равна 4.

Сравнивая на рисунках 4.4.8 и 4.4.9 функции Лапласа и Гаусса и их спектры (с учетом мас-

штаба последних), нетрудно заметить, что чем более плавно изменяются значения сигнала (мень-

ше его дифференциал), тем более низкочастотным является спектр сигнала.

7. Гармонические колебания. Одним из условий применения интегрального преобразова-

ния Фурье является абсолютная интегрируемость функций. Гармонические, а в общем случае и все периодические функции в пространстве R(- , ), не обладают условием абсолютной интегри-

руемости. Спектральные плотности таких сигналов обычно определяются с использованием -

функций.

Допустим, имеем простейший периодический сигнал: s(t) = Ao cos ot.

Разложим сигнал по формуле Эйлера и выполним преобразование Фурье, не обращая вни-

мания на неинтегрируемость функции:

Но интегралы в этом выражении представляют собой -функции в частотной области (см.

формулу (4.4.3)) с бесконечно большими значениями спектральной плотности на частотах ± o.

Следовательно:

8. Радиоимпульс. Умножение сигнала на гармоническую функцию заполняет сигнал гар-

монической частотой и формирует радиоимпульс. Без учета начальной фазы гармоники:

112

s(t) = u(t) cos( ot).

Спектр радиоимпульса:

Спектры сигналов обычно низкочастотные и сосредоточены в центре частотной оси. Часто-

та гармоники заполнения, как правило, много больше максимальной частоты гармоник сигнала.

Из (4.4.12) следует, что спектр сигнала раздваивается (с коэффициентом ½) и смешается влево и вправо по оси частот на частоты o. Особенно наглядно это видно для четных сигналов и приве-

дено на рис. 4.4.11.

Рис. 4.4.11. Радиоимпульс и его амплитудный спектр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая шко-

ла, 1988.

11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975. - 264 с.

16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х то-

мах. - М.: Мир, 1983.

17. Никитин А.А. Теоретические основы обработки геофизической информации: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1986.- 342 с.

21. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.:

Недра, 1993.- 350 с.

24.Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. – М.: Недра, 1987. – 221 с.

25.Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.

114

Сигнал s(t) изучается, как правило, на определенном интервале Т (для периодических сиг-

налов - в пределах одного периода Т), при этом средняя мощность сигнала:

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энер-

гия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное опре-

деление средней мощности сигнала производится по формуле:

5.2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ [1].

Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t)

определяется выражением

Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем

случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сиг-

налов или взаимную энергию

Интеграл выражения (5.2.2) для двух вещественных сигналов является фундаментальной

характеристикой, пропорциональной взаимной энергии сигналов. Его называют скалярным произ-

ведением сигналов

Скалярное произведение обладает следующими свойствами

5.u, v 0;

6.u, v = v, u ;

7.au, v = a u, v , где а – вещественное число;

8.u+v, a = u, a + v, a .

Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбер-

товым пространством Н. С учетом того, что cos 1, в гильбертовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского

115

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение также представляет собой вещественное число и вычисляется по формуле

Из выражения (5.2.3) следует, что косинус угла между сигналами

Дискретные сигналы обычно рассматриваются в пространстве Евклида (обозначение про-

странства - R2). Скалярное произведение двух сигналов в пространстве Евклида:

где n - размерность пространства.

Взаимный энергетический спектр. Из очевидной однозначности энергии взаимодействия сигналов независимо от формы их математического представления (в динамической и частотной модели) следует выражение для скалярного произведения произвольных вещественных сигналов u(t) и v(t) через спектральные плотности сигналов U( ) и V( ) в комплексном гильбертовом про-

странстве:

для которых справедливо выражение (5.2.6), называется взаимными энергетическими спектрами

вещественных сигналов, и являются функциями распределения плотности энергии взаимодей-

ствия сигналов (мощности взаимодействия) по частоте.

В общем случае, за исключением спектров четных функций, взаимные энергетические

спектры также являются комплексными функциями:

U( ) = Au( ) + j Bu( ), V( ) = Av( ) + j Bv( ).

Wuv = AuAv+BuBv+j (BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv( ). (5.2.7')

С учетом четности реальной части и нечетности мнимой части энергетических спектров,

интеграл мнимой части выражения (5.2.7') равен нулю, а, следовательно, скалярное произведение сигналов всегда является вещественным и неотрицательным, как и энергия сигналов: