Материал: конспект-лекций

116

Рис. 5.2.1. Форма и энергетические спектры сигналов.

На рис. 5.2.1 приведена форма двух одинаковых сдвинутых во времени и частично пере-

крывающихся лапласовских импульсов u(t) и v(t), а также суммарный импульс z(t)=u(t)+v(t).

Плотности энергии сигналов W(f) приведены в относительных единицах плотности энергии сум-

марного сигнала Wz(f) на нулевой частоте.

Как видно из графиков, плотности энергии сигналов являются вещественными неотрица-

тельными функциями и содержат только реальные части. В отличие от них, плотность взаимной энергии сигналов является комплексной функцией, при этом модуль плотности по своим значени-

ям на шкале частот соизмерим со средними значениями плотности энергии сигналов на этих ча-

стотах и не зависит от их взаимного расположения на временной оси. Для сигналов, одинаковых по форме, модуль взаимной плотности равен значениям плотности энергии сигналов.

Рис. 5.2.2. Взаимные энергетические спектры сигналов.

На рис. 5.2.2 приведены плотности взаимной энергии тех же сигналов при разной величине временного сдвига t между сигналами. Однако при постоянном значении модуля взаимной энер-

гии сигналов действительная и мнимая функции спектра мощности существенно изменяются при изменении сдвига между сигналами. При незначительной величине временного перекрытия сиг-

налов частота осцилляций реальной и мнимой части плотности взаимной энергии достаточно ве-

лика, а относительный коэффициент затухания колебаний (уменьшение амплитудных значений от периода к периоду) достаточно мал. Соответственно, при вычислении скалярного произведения по формуле (5.2.8) положительные амплитудные значения осцилляций Re(Wuv) практически полно-

стью компенсируются отрицательными значениями и результирующий интеграл, а равно и энер-

гия взаимодействия сигналов (удвоенное значение скалярного произведения), близка к нулевой

117

(стремится к нулю по мере увеличения сдвига между сигналами).

При увеличении степени взаимного перекрытия сигналов частота осцилляций плотности взаимной энергии уменьшается ( t = 50 mkc на рис. 5.2.2) и основным по энергии реальной части спектра становится центральный низкочастотный пик, площадь которого не компенсируется пло-

щадью последующей отрицательной полуволны осцилляции. Соответственно, возрастает и энер-

гия взаимодействия сигналов. При полном перекрытии сигналов (при нулевом фазовом угле меж-

ду сигналами) осцилляции исчезают, и энергия взаимодействия сигналов максимальна.

Спектр мощности W( ) - вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотно-

сти сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно,

восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с раз-

личными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности,

сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге t 0, мнимая часть спектра Wuv( ) стремится к нулевым значе-

ниям, а реальная часть – к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигна-

лов имеем:

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – фор-

мулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

u(t) v*(t) dt = U(f) V*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нор-

мы относительно преобразования Фурье:

118

u(t), v(t) = U(f),V(f) , ||s(t)||2 = ||S(f)||2.

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение.

Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

s(t) = Sk exp(j2 kt/T), k

и вычислим среднюю мощность сигнала за один период:

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно,

средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

функции спектров приведены по безразмерной частотной переменной f и.

Интегрированием энергетического спектра по интервалам лепестков спектра нетрудно вы-

числить, что в пределах первого лепестка сосредоточено 90.2% энергии всего сигнала, в пределах второго – 4.8%, в пределах третьего – 1.7%, и т.д. Если форма сигналов в пункте их приема (детек-

тирования) существенного значения не имеет, а регистрация сигналов идет на уровне статистиче-

ских шумов, равномерно распределенных по всему частотному диапазону, то такие сигналы целе-

сообразно пропускать через фильтр нижних частот с выделением только первого энергетического лепестка сигнала. Естественно, что при этом фронты регистрируемого сигнала будут сглажены.

Но при расширении полосы пропускания фильтра на два или три лепестка энергия принимаемого сигнала будет увеличена соответственно на 4.8 или 6.5%, в то время как энергия шумов в 2 или 3

раза.

119

ЛИТЕРАТУРА

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая шко-

ла, 1988.

3.Васильев Д.В. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. - М.: Радио

исвязь, 1982. - 528 с.

16.Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. - М.: Мир,

1983.

120

Лекция 6. КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ

Содержание

1. Автокорреляционные функции сигналов. Понятие автокорреляционных функций (АКФ).

АКФ сигналов, ограниченных во времени. АКФ периодических сигналов. Функции автоковариа-

ции (ФАК). АКФ дискретных сигналов. АКФ зашумленных сигналов. АКФ кодовых сигналов.

2. Взаимнокорреляционные функции сигналов (ВКФ). Взаимная корреляционная функция

(ВКФ). Взаимная корреляция зашумленных сигналов. ВКФ дискретных сигналов. Оценка перио-

дических сигналов в шуме. Функция взаимных корреляционных коэффициентов.

3. Спектральные плотности корреляционных функций. Спектральная плотность АКФ. Ин-

тервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ. Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ.

ВВЕДЕНИЕ

Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация,

является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допу-

стим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последова-

тельность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скаляр-

ные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сиг-

налу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой пе-

ременной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сиг-

нала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наобо-

рот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная кор-

реляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормиро-

ванных единицах коэффициента корреляции, т.е. в косинусе угла между векторами сигналов, и,

соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная про-

тивоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений.

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится опре-

деление скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу.

Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.