Материал: конспект-лекций
121
Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявле-
ния неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.
Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" существует некоторая путаница. В
математической литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" – к произвольным. В технической литературе, и особенно в литературе по сигналам и методам их обработки, часто применяется прямо противоположная терминология. Принципи-
ального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.
6.1. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СИГНАЛОВ [1,25].
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ,
CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интеграль-
ной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной вре-
менной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых от-
носительно друг друга на время :
|
|
|
Bs( ) = s(t) s(t+ ) dt = s(t), s(t+ ) = ||s(t)|| ||s(t+ )|| cos ( ). |
(6.1.1) |
|
Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его |
||
копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига |
. Соответствен- |
|
но, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при |
= 0 значение АКФ непосредственно |
|
равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):
Bs(0) =
s(t)2 dt = Es.
АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-
в выражении (6.1.1):
Bs( ) = s(t- ) s(t) dt = Bs(- ).
Максимум АКФ, равный энергии сигнала при =0, всегда положителен, а модуль АКФ при
любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):
s(t), s(t+ |
) = ||s(t)|| ||s(t+ |
|| cos ( |
), |
cos ( ) = 1 при |
= 0, s(t), s(t+ |
) = ||s(t)|| ||s(t)|| = Es, |
|
cos ( ) < 1 при 0, |
s(t), s(t+ ) = ||s(t)|| ||s(t+ |
)|| cos ( ) < Es. |
|
122
Рис. 6.1.1.
В качестве примера на рис. 6.1.1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и ра-
диоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ.
Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной 
T амплитуды прямоугольного им-
пульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными зна-
чениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его за-
полнения).
С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для по-
ложительных значений . На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак + в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений копия сигнала s(t+ ) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требу-
ет соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении
(6.1.1) функции s(t- ) вместо s(t+ ).
|
|
Bs( ) = s(t) s(t- ) dt. |
(6.1.1') |
Для финитных сигналов по мере увеличения значения величины сдвига |
временное пере- |
крытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и ска-
лярное произведение в целом стремятся к нулю:
lim B |
(τ) |
|
|τ | |
s |
|
|
|
|
= 0.
АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоко-
вариационную функцию сигнала:
|
|
Cs( ) = [s(t)- s][s(t+ )- s] dt, |
(6.1.2) |
123
где s – среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функци-
ями достаточно простым соотношением:
Cs( ) = Bs( ) - s2.
АКФ сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются и анализи-
руются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нор-
мировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале [a, b]:
|
1 |
b |
|
|
|
Bs( ) = |
|
s(t) s(t+ ) dt. |
(6.1.3) |
||
b a |
|||||
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как
среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала зада-
ния сигнала к бесконечности:
Bs( )
lim |
1 |
|
T |
||
T |
||
|
|
T |
|
s(t) |
||
|
||
|
0 |
s(t τ)
dt
.
(6.1.4)
АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.
АКФ периодических сигналов. Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного про-
изведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:
|
|
|
|
|
T |
|
Bs( |
) = (1/Т) |
s(t) s(t- ) dt. |
||||
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
Математически более строгое выражение: |
|
|
||||
Bs( ) |
lim |
1 |
T s(t) s(t - τ) dt . |
|||
|
||||||
|
T T |
0 |
|
|
||
(6.1.5)
При =0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с
тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos( 0t+ |
0) при T=2 / 0 имеем: |
||||
|
ω0 |
π/ω |
|
|
|
Bs( ) = |
π/ω0 |
|
A cos( 0t+ 0) A cos( |
0(t- )+ 0) = (A2/2) cos( 0 ). (6.1.6) |
|
2π |
0 |
||||
Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигна-
лов и является одним из свойств АКФ. С по-
мощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в Рис. 6.1.2. любых произвольных сигналах. Пример ав-
токорреляционной функции периодического сигнала приведен на рис. 6.1.2.
124
Функции автоковариации (ФАК) вычисляются аналогично, по центрированным значени-
ям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дис-
персией s2 сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сиг-
нала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов,
откуда следует:
|Cs( |
)| ≤ s2, Cs(0) = |
s2 ||s(t)||2. |
|
(6.1.7) |
Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию ав- |
||||
токорреляционных коэффициентов: |
|
|
|
|
s( ) = Cs( |
)/Cs(0) = Cs( )/ |
s2 cos |
). |
(6.1.8) |
Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу норми-
ровки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и харак-
теризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига 
между отсчетами сигнала. Значения s( ) cos ( ) могут изменяться от 1 (полная прямая кор-
реляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).
Рис. 6.1.3.
На рис. 6.1.3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - s и s1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила нали-
чие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой Cs/ s1, т.е. ФАК сигнала s(k)
с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно ви-
деть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения Сs1(0) по отношению к значению Cs(0) и несколько "размыли" функцию ко-
эффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение s( ) шумовых сигналов стремится к 1 при 0 и флюктуирует относительно нуля при ≠ 0, при этом амплитуды флюктуаций
статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увели-
чении количества отсчетов). |
|
|
АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных |
t = const вычисление |
|
АКФ выполняется по интервалам |
= t и обычно записывается, как дискретная функция номе- |
|
ров n сдвига отсчетов n : |
|
|
|
|
|
|
Bs(n t) = t sk sk-n. |
(6.1.9) |
|
k |
|
125
Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при t=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:
Bs(n) =
K K n
K-n k 0
sk sk-n.
(6.1.10)
Множитель K/(K-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепен-
ное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n.
Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммиро-
вания средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заме-
няется на множитель 1/(K-n).
Формула (6.1.10) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигна-
лов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знамена-
теля (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспе-
чивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:
Bs(n) =
1 K
K k 0
sk sk-n, sk-n = 0 при k-n < 0,
(6.1.11)
т.е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значения-
ми (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10).
Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис.
6.1.4.
Рис. 6.1.4.
Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т.е. как оцен-
ку математического ожидания:
Bs(n) = M{sk sk-n} sksk n . |
(6.1.12) |
Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она так-
же является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.