Материал: конспект-лекций

6.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n 0 не превышает 1.

6.2. ВЗАИМНЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СИГНАЛОВ [1,19].

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function,

CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокор-

реляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное про-

изведение сигналов:

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физи-

ческих процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных

по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|Bsu( )| ||s(t)|| ||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по ко-

ординатам.

При замене переменной t = t- в формуле (6.2.1), получаем:

128

Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений озна-

чает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени

(для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения бе-

рутся значения s2(t+ )). При =0 сигналы ортогональны и значение B12( )=0. Максимум В12( )

будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение =1, при котором происходит пол-

ное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+ ).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1') наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. Bsu( ) = Bus(-

На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t).

Все сигналы имеют одинаковую длитель-

ность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по вре-

менному расположению и площадь "пере-

крытия" сигналов максимальна при =0, что и фиксируется функцией Bsu. Вместе с тем функция

Bsu резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в за-

висимости от направления сдвига (знака при увеличения значения от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t))

форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция Bsv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция

Bvs будет зеркально повернутой относительно =0 функцией Bsv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положи-

тельных и отрицательных запаздываний:

Взаимная корреляция зашумленных сигналов. Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала

s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

ших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

129

место:

Buv( ) → Bs1s2( ).

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов,

изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при t = const =1

для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

Оценка периодических сигналов в шуме. Зашумленный сигнал можно оценить по взаим-

ной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной

корреляции до максимального значения.

А поскольку qk → 0 при увеличении N, то Bup(k) → Bsp(k). Очевидно, что функция Bup(k)

будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации

функции Bup(k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных ко-

эффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаим-

ной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведе-

няться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция).

При сдвигах , на которых наблюдаются нулевые значения su( ), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с исполь-

зованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений su(n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигна-

130

лов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик си-

стем.

6.3. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПЛОТНОСТИ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ [1,25].

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых сообра-

жений.

В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произ-

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и

его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощно-

сти:

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетиче-

ского спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Bs( ) |S( )|2 = Ws( ). (6.3.2)

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.