Материал: конспект-лекций
131
Энергетический спектр сигналов всегда поло-
жителен, мощность сигналов не может быть отрица-
тельной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т.к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный инте-
гральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т.к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате
порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоуголь-
ного импульса длительностью 2
с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 6.3.1 (графики функций приведены,
как принято для четных функций, только своей правой частью).
АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуют-
ся ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умно-
жение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной обла-
сти отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией инте-
грального синуса sinc( T/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, а также появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример прояв-
ления данных факторов приведен на рис. 6.3.2.
Рис. 6.3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.
Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним не-
возможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восста-
новление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы, сдвинутые во времени, имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.
Перепишем уравнение (6.3.1) в следующей форме
132
s(t) s(t- ) dt = (1/2
)
S(
) S*( ) exp(j
) d ,
и подставим в это выражение значение =0. Полученное равенство хорошо известно и называется
равенством Парсеваля
s2(t) dt = (1/2
)
|S( )|2 d .
Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области
описания сигналов.
Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и
степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.
|
|
|
Если допустить, что сигнал s(t) имеет |
|
|
|
|
|
|
|
примерно равномерный энергетический |
|
|
|
спектр со значением W0 и с верхней гранич- |
|
|
|
ной частотой до в (форма центрированного |
|
|
|
прямоугольного импульса, как, например, |
|
|
|
сигнал 1 на рис. 6.3.3 с fв=50 Гц в односто- |
|
Рис. 6.3.3. |
||
|
роннем представлении), то АКФ сигнала |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
определится выражением: |
|
||
Bs(
) = (Wo/ )
|
ω |
в |
|
|
|
|
0 |
|
cos(
) d = (Wo в/ ) sin( в )/( в ).
Интервалом корреляции сигнала к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спек-
тра с верхней граничной частотой в первое пересечение нуля соответствует sinc( |
в ) = 0 при |
в = , откуда: |
|
к = / в =1/2fв. |
(6.3.4) |
Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.
Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 6.3.3).
Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении пред-
ставляет собой случайную функцию Wq( ) со средним значением Wq( |
) q2, где q2 – диспер- |
сия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении |
шумов от 0 до , АКФ шу- |
мов стремится к значению Bq( ) q2 при 0, Bq( ) 0 при 0, т.е. статистические шумы не коррелированны ( к 0).
Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов = {0, (3-5) k}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по авто-
корреляции сигналов.
Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений,
133
что и для АФК, или непосредственно из формулы (6.3.1) заменой спектральной плотности сигнала
S( ) на спектральную плотность второго сигнала U( ):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
su( |
) = (1/2 |
) |
|
|
S*( ) U( ) exp(j |
) d |
(6.3.5) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или, при смене порядка сигналов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
us( |
) = (1/2 |
) |
|
U*( ) S( ) exp(j |
) d |
(6.3.5') |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение S*( )U( |
) представляет собой взаимный энергетический спектр Wsu( ) сиг- |
|||||||
налов s(t) и u(t). Соответственно, U*( )S( |
) = Wus( ). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорре- |
|||||||
ляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:
Bsu( |
) Wsu( |
) W*us( |
). |
(6.3.6) |
Bus( |
) Wus( |
) W*su( |
). |
(6.3.6') |
В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения чет-
ности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:
U( ) = Au( ) + j Bu( ), V( ) = Av( ) + j Bv( ). Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv( ),
и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.
На рис. 6.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.
Рис. 6.3.4. Формирование ВКФ.
Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S( ). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов S( )U*( ). Как известно,
при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы скла-
дываются, при этом для сопряженного спектра U*( ) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (6.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t- ) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S( ) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значе-
ний углов (без учета периодического сброса значений на 2 ), а фазовые углы U*( ) по абсолют-
134
ным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положи-
тельных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 6.3.4, вид С) является
вычитание из фазовых углов S( ) значений углов |
U*( |
), при этом фазовые углы спектра |
S( )U*( ) остаются в области отрицательных значений, |
что обеспечивает сдвиг всей функции |
|
ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси |
на определенную величину (для одинако- |
|
вых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начально-
го положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы S( )U*( ) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция Bsu(t) смещается к ну-
левым значениям , в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).
Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекры-
ваются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах друг от-
носительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некор-
релированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.
Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ является, особенно для длин-
ных числовых рядов, в десятки и сотни раз более быстрым методом, чем последовательными сдвигами во временной области при больших интервалах корреляции. Суть метода вытекает из формул (6.3.2) для АКФ и (6.3.6) для ВКФ. Учитывая, что АКФ можно рассматривать как частный случай ВКФ при одном и том же сигнале, процесс вычисления рассмотрим на примере ВКФ для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К. Он включает:
1.Вычисление БПФ спектров сигналов x(k) → X(k) и y(k) → Y(k). При разном количестве отсчетов более короткий ряд дополняется нулями до размера большего ряда.
2.Вычисление спектров плотности мощности Wxy(k) = X*(k) Y(k).
3.Обратное БПФ Wxy(k) → Bxy(k).
Отметим некоторые особенности метода.
|
135 |
|
При обратном БПФ, как известно, вычисляется цикли- |
|
|
|
ческая свертка функций x(k) y(k). Если число отсчетов |
|
функций равно К, число комплексных отсчетов спектров |
|
функций также равно К, равно как и число отсчетов их произ- |
|
ведения Wxy(k). Соответственно, число отсчетов Bxy(k) при об- |
|
ратном БПФ также равно К и циклически повторяется с пери- |
|
одом, равным К. Между тем, при линейной свертке полных |
|
массивов сигналов по формуле (6.2.5) размер только одной по- |
|
ловины ВКФ составляет К точек, а полный двусторонний раз- |
|
мер составляет 2К точек. Следовательно, при обратном БПФ с |
Рис. 6.3.5. |
учетом цикличности свертки произойдет наложение на глав- |
|
|
В1 – линейная свертка, В2 – |
ный период ВКФ ее боковых периодов, как и при обычной |
|
|
БПФ без продления сигналов ну- |
циклической свертке двух функций. |
|
|
лями, В3 – БПФ с продлением |
На рис. 6.3.5 приведен пример двух сигналов и значе- |
|
|
сигналов нулями. |
ния ВКФ, вычисленные линейной сверткой (В1ху) и цикличе- |
|
|
|
ской сверткой через БПФ (В2ху). Для исключения эффекта |
|
наложения боковых периодов необходимо дополнить сигналы нулями, в пределе, до удвоения ко-
личества отсчетов, при этом результат БПФ (график В3ху на рисунке 6.3.5) полностью повторяет результат линейной свертки (с учетом нормировки на увеличение количества отсчетов).
На практике число нулей продления сигналов зависит от характера корреляционной функ-
ции. Минимальное количество нулей обычно принимается равным значимой информационной ча-
сти функций, т.е. порядка (3-5) интервалов корреляции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая шко-
ла, 1988.
19. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. – М.: Мир, 1982. – 428 с.
25.Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203.
–608 с.
33. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М.,
"Вильямс", 2004, 992 с.