Материал: конспект-лекций
136
Лекция 7. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ
Содержание
1.Задачи дискретизации функций. Сигналы и системы дискретного времени. Принципы дискретизации. Воспроизведение сигнала.
2.Равномерная дискретизация. Спектр дискретного сигнала. Интерполяционный ряд Ко-
тельникова-Шеннона. Дискретизация с усреднением. Дискретизация спектров. Информационная тождественность динамической и спектральной формы сигнала. Дискретизация усеченных сиг-
налов. Соотношение спектров одиночного и периодического сигналов.
3.Дискретизация по критерию наибольшего отклонения.
4.Адаптивная дискретизация.
5.Квантование сигналов.
6.Децимация и интерполяция данных.
ВВЕДЕНИЕ.
В первой половине ХХ века при регистрации и обработке информации использовались, в
основном, измерительные приборы и устройства аналогового типа, работающие в реальном мас-
штабе времени, при этом даже для величин, дискретных в силу своей природы, применялось пре-
образование дискретных сигналов в аналоговую форму. Положение изменилось с распространени-
ем микропроцессорной техники и ЭВМ. Цифровая регистрация и обработка информации оказа-
лась более совершенной и точной, более универсальной, многофункциональной и гибкой. Мощь и простота цифровой обработки сигналов настолько преобладают над аналоговой, что преобразова-
ние аналоговых по природе сигналов в цифровую форму стало производственным стандартом.
Под дискретизацией сигналов понимают преобразование функций непрерывных перемен-
ных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как правило, кванто-
ванные значения функций в дискретной шкале координат. Под квантованием понимают преобра-
зование непрерывной по значениям величины в величину с дискретной шкалой значений из ко-
нечного множества разрешенных, которые называют уровнями квантования. Если уровни кванто-
вания нумерованы, то результатом преобразования является число, которое может быть выражено в любой числовой системе. Округление с определенной разрядностью мгновенных значений не-
прерывной аналоговой величины с равномерным шагом по аргументу является простейшим слу-
чаем дискретизации и квантования сигналов при их преобразовании в цифровые сигналы.
Как правило, для производственных задач обработки данных обычно требуется значитель-
но меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного анало-
гового сигнала. При статистических флюктуациях измеряемых величин и конечной погрешности средств измерений точность регистрируемой информация также всегда ограничена определенны-
137
ми значениями. При этом рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных дан-
ных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации. Кроме того, исполь-
зование цифровых сигналов позволяет применять методы кодирования информации с возможно-
стью последующего обнаружения и исправления ошибок при обращении информации, а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.
7.1. ЗАДАЧИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ [10, 21].
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно его представляют в виде последовательности чисел: s(k) s(k t) sk, k = 0, 1, 2, …, K, где значе-
ниями чисел отображают значения сигнала в дискретные моменты времени. Значения интервала дискретизации обычно принято опускать, т.е. принимать равным t = 1, поскольку он является не более чем масштабным множителем по независимой переменной и при постоянном значении во всех параметрах и атрибутах обработки сигналов, включая сопряженные величины (например,
масштаб частоты f=1/| t|), его физическая величина может вводиться в результаты на заключи-
тельной стадии обработки данных. По существу, при t=1 осуществляется нормирование сигна-
лов и систем их обработки по независимой переменной.
Система дискретного времени – это алгоритм с входной последовательностью s(k) и вы-
ходной последовательностью y(k), которая может быть линейной или нелинейной, инвариантной или изменяющейся во времени. Система дискретного времени линейна и инвариантна во времени
(ЛИВ-система), если она подчиняется принципу суперпозиции (отклик на несколько входов равен сумме откликов на каждый вход в отдельности), а задержка (сдвиг) входного сигнала вызывает такую же задержку выходного сигнала. Вход и выход ЛИВ-систем связывает сверточная сумма:
y(k) =
n
h(n) x(k-n),
где h(n) – дискретная импульсная характеристика (импульсный отклик) системы. Система устой-
чива, если выполняется условие:
n
|h(n)| < ∞.
Это условие справедливо всегда для систем с конечной импульсной характеристикой
(КИХ-систем) без особых точек в своем составе, что характерно для нерекурсивных систем с ограниченным числом отсчетов (в общем случае, N1 < n < N2), а также для систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем), если h(n) → 0 при n → ∞, что должно выполняться для рекурсивных систем.
Физически реализуемой называется система, если ее импульсная характеристика существу-
ет только при n≥0.
138
Принципы дискретизации. Сущность дискретизации аналоговых сигналов заключается в том, что непрерывность во времени аналоговой функции s(t) заменяется последовательностью ко-
ротких импульсов, амплитудные значения которых cn определяются с помощью весовых функций,
либо непосредственно выборками (отсчетами) мгновенных значений сигнала s(t) в моменты вре-
мени tn.Представление сигнала s(t) на интервале Т совокупностью дискретных значений cn запи-
сывается в виде:
(с1, с2, ... , cN) = А[s(t)],
где А - оператор дискретизации. Запись операции восстановления сигнала s(t): s'(t) = В[(с1, с2, ... , cN)].
Выбор операторов А и В определяется требуемой точностью восстановления сигнала.
Наиболее простыми являются линейные операторы. В общем случае:
сn =
t
qn(t) s(t) dt,
(7.1.1)
где qn(t) - система весовых функций.
Отсчеты в выражении (7.1.1) связаны с операцией интегрирования, что обеспечивает высо-
кую помехоустойчивость дискретизации. Однако в силу сложности технической реализации
"взвешенного" интегрирования, последнее используется достаточно редко, при высоких уровнях помех. Более широкое распространение получили методы, при которых сигнал s(t) заменяется со-
вокупностью его мгновенных значений s(tn) в моменты времени tn. Роль весовых функций в этом случае выполняют гребневые (решетчатые) функции. Отрезок времени t между соседними от-
счетами называют шагом дискретизации. Дискретизация называется равномерной с частотой
F=1/ t, если значение t постоянно по всему диапазону преобразования сигнала. При неравно-
мерной дискретизации значение t между выборками может изменяться по определенной про-
грамме или в зависимости от изменения каких-либо параметров сигнала.
Воспроизведение непрерывного сигнала по выборкам может проводиться как на основе ор-
тогональных, так и неортогональных базисных функций. Воспроизводящая функция s'(t) соответ-
ственно представляется аппроксимирующим полиномом:
s'(t) = |
|
n cn vn(t), |
(7.1.2) |
|
где vn(t) - система базисных функций. Ортогональные базисные функции обеспечивают сходи-
мость ряда к s(t) при n . Оптимальными являются методы дискретизации, обеспечивающие минимальный числовой ряд при заданной погрешности воспроизведения сигнала. При неортого-
нальных базисных функциях используются, в основном, степенные алгебраические полиномы ви-
да:
N |
|
s'(t) = cn tn. |
(7.1.3) |
n 0 |
|
Если значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в момен-
139
ты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. В качестве интерполирующих по-
линомов обычно используются многочлены Лагранжа. Для реализации интерполирующих поли-
номов необходима задержка сигнала на интервал дискретизации, что в системах реального време-
ни требует определенных технических решений. В качестве экстраполирующих полиномов ис-
пользуют, как правило, многочлены Тейлора.
Естественным требованием к выбору частоты дискретизации является внесение минималь-
ных искажений в динамику изменения сигнальных функций. Логично полагать, что искажения информации будут тем меньше, чем выше частота дискретизации F. С другой стороны также оче-
видно, что чем больше значение F, тем большим количеством цифровых данных будут отобра-
жаться сигналы, и тем большее время будет затрачиваться на их обработку. В оптимальном вари-
анте значение частоты дискретизации сигнала F должно быть необходимым и достаточным для обработки информационного сигнала с заданной точностью, т.е. обеспечивающим допустимую погрешность восстановления аналоговой формы сигнала (среднеквадратическую в целом по ин-
тервалу сигнала, либо по максимальным отклонениям от истинной формы в характерных инфор-
мационных точках сигналов).
7.2. РАВНОМЕРНАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ [16,21].
Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный ана-
логовый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг t = 1/F) с математических позиций
означает умножение функции s(t) на гребневую функцию Ш t(t) = |
k |
(t-k t) – непрерывную по- |
|
|
|
следовательность импульсов Кронекера: |
|
|
|
|
|
|
|
s t(t) = s(t) Ш t(t) = s(t) |
|
(t-k t) = |
|
s(k t) (t-k t). |
|
k |
|
k |
|
С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции
|
|
|
Ш t(t) (1/T) |
|
(f-nF) = F·ШF(f), |
|
n |
|
фурье-образ дискретной функции s t(t):
SF(f) = S(f) * F ШF(f).
Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем:
|
|
|
SF(f) = F S(f) * |
|
(f-nF) = F S(f-nF). |
|
n - |
n - |
(7.2.1)
(7.2.2)
(7.2.3)
(7.2.4)
Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией F S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах централь-
ного периода от -fN до fN, где fN = 1/2 t = F/2. Частоту fN (или для круговой частоты N = / t)
называют частотой Найквиста. Центральный период функции SF(f) называют главным частотным
140
диапазоном.
Интуитивно понятно, что если спектр главного частотного диапазона с точностью до по-
стоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала, то по этому спектру может быть восстановлена не только форма дискретного сигнала, но и форма исходного непрерывного сигнала. При этом шаг дискретизации и соответствующее ему значение частоты Найквиста долж-
ны иметь определяющее значение.
Как правило, шаг дискретизации сигнала (шаг числовых массивов) условно принимают равным t = 1, при этом главный частотный диапазон занимает интервал -0.5 f 0.5, или, в шка-
ле угловых частот соответственно -
.
Физическая сущность формирования спектров дискретных сигналов достаточно проста.
Наиболее наглядно это можно увидеть, если воспользоваться программой Mathcad (см. рис. 7.2.1).
Сначала представим себе непре-
рывный сигнал постоянной единичной амплитуды c(t) = const = 1 на произволь-
ном интервале 0-Т, например, при Т=100.
Начнем дискретизировать сигнал с рав-
номерным шагом t=1. Вычислим спектр первого дискретного отсчета c0 = 1. При
N=1 сигнал является импульсом Кроне-
кера, а, соответственно, модуль спектра отсчета с0=1 представляет собой непре-
рывное частотное распределение |С( )| = const в диапазоне от - до + (показан только участок от -6 до +6 с норми-
ровкой на N для наглядности сравнения спектров). Все частоты сигнала имеют нулевую фазу и при сложении взаимно компенсируются во всех временных точ-
ках за исключением точки t=0, в которой амплитуды частот суммируются, создавая
единичный отсчет с0.
Добавим к сигналу второй дискретный отсчет с1=1 (N=2). Если вычислить спектр только второго отсчета, то его модуль будет равен модулю первого отсчета (так как с1=с0), но нулевые фазы гармоник этого спектра переместятся в точку t=1, т.е. относительно точки t=0 фазы гармоник второго отсчета изменятся на -
t в соответствии с теоремой запаздывания преобразования Фурье. При сложении этих двух спектров первого и второго отсчета наблюдается интерференция