Материал: КонспектНМ14_2018

для будь-якого , (4.6)

де в правій частині виразу застосовується операція модуля (або обчислення абсолютного значення) числа. При цьому виявляється справедливим наступне твердження: = тобто симетрична різниця двох нечітких множин є об'єднанням двох різниць нечітких множин і .

Якщо, як і вище, розглянути нечітку множину , яка дорівнює: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3. 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>} та нечітку множину , яка дорівнює: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}, то їх симетрична різниця буде дорівнювати: ={<1, 0.5>, <2, 0>, <3, 0.3>, <4, 0.4>, <5, 0.4>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}. В цьому випадку результат співпадатиме із звичайною різницею .

Операція симетричної різниці двох нечітких множин і , заданих на одному і тому ж універсумі X різними функціями приналежності, може бути проілюстрована графічно (рис. 4.4). При цьому результату операції симетричної різниці нечітких множин також відповідає темніша область на графіці.

Рис. 4.4. Графічне представлення операції симетричної різниці двох нечітких множин і , заданих лінійними Z-образною і S-образною функціями приналежності (а) і П-образними (б) функціями приналежності

Доповнення. Спеціально слід зупинитися на унарній операції доповнення нечіткої множини. Доповнення нечіткої множини позначається через і визначається як нечітка множина ={x| }, функція приналежності якої визначається за наступною формулою:

для будь-якого (4.6)

Якщо, як і вище, розглянути нечітку множину , яка дорівнює: ={<1, 1.0>, <2, 1.0>, <3, 0.9>, <4, 0.8>, <5, 0.6>, <6, 0.5>, <7, 0.4>, <8, 0.2>, <9, 0.1>}, і нечітка множина , яка дорівнює: ={<1, 0.5>, <2, 1.0>, <3, 0.6>, <4, 0.4>, <5, 0.2>, <6, 0>, <7, 0>, <8, 0>, <9, 0>}, то їх доповнення будуть дорівнювати: ={<1, 0>, <2, 0>, <3, 0.1>, <4, 0.2>, <5, 0.4>, <6, 0.5>, <7, 0.6>, <8, 0.8>, <9, 0.9>} і ={<1, 0.5>, <2, 0>, <3, 0.4>, <4, 0.6>, <5, 0.8>, <6, 1.0>, <7, 1.0>, <8, 1.0>, <9, 1.0>}. Змістовно нечітка множина може представляти в даному контексті "натуральне число, не що є невеликим", а нечітка множина – "натуральне число, яке не рівне приблизно двом".

Операція доповнення нечіткої множини може бути проілюстрована графічно (рис. 4.5). Як неважко бачити, графік функції приналежності доповнення нечіткої множини симетричний графіку функції приналежності початкової нечіткої множини щодо лінії: y=0.5.

Рис. 4.5. Графічне представлення операції доповнення нечіткої множини , яка задана лінійною Z-образною (а) функцією приналежності і П-образною (б) функцією приналежності

Особливість даних операцій над нечіткими множинами полягає в тому, що для них не виконуються закон виключеного третього і закон тотожності (властивості доповнюваності операцій перетину і об'єднання). А саме, в загальному випадку є справедливими такі нерівності:

, (3.17)

. (3.18)

Нечіткі оператори

Розглянуті вище нечіткі теоретико-множинні операції не вичерпують всі можливі способи їх завдання, які потенційно можна запропонувати в контексті загальної теорії нечітких множин. Великий клас подібних операцій, включаючи і вже розглянуті операції перетину і об'єднання нечітких множин, допускає узагальнене уявлення на основі так званих нечітких операторів. Ці оператори діють на множині значень функцій приналежності (у нашому випадку – на інтервалах [0, 1]) і тому можуть бути безпосередньо застосовані до функцій приналежності довільних нечітких множин. З різноманіття нечітких операторів найбільший інтерес представляють трикутні норма і конорма.

Визначення 4.1. Довільна дійсна функція від 2-х змінних Т:[0,1]х[0,1]→[0,1] називається трикутною нормою, якщо вона задовольняє наступним властивостям, які називаються аксіомами трикутної норми:

Т(х, 0) = 0; Т(х, 1) = х (обмеженість); (3.19)

Т(х, у)= Т(у, х) (комутативність); (3.20)

Т(x, Т(у, z))= Т(Т(х, у), z) (асоціативність); (3.21)

Т(х, у) ≤ T(z1, z2) (монотонність) (3.22)

якщо одночасно х ≤ z₁ и у ≤ z₂.

Аксіома обмеженості забезпечує виконання граничних умов, які повинні виконуватися для всіх операцій перетину нечітких множин, включаючи і звичайні множини. Аксіоми комутативності і асоціативності забезпечують виконання відповідних властивостей у всіх операцій перетину нечітких множин. Аксіома монотонності гарантує незмінність порядку величин значень функцій приналежності від яких би то не було значень інших функцій приналежності. Типовою трикутною нормою є операція -перетину нечітких множин.

Визначення 4.2 (Т-конорма, S-норма). Довільна дійсна функція від 2-х змінних S: [0,1]х[0,1]→[0,1] називається трикутною конормою, якщо вона задовольняє наступним властивостям, так званим аксіомами трикутної конорми:

S(x,0)= x; S(x, 1)= 1 (обмеженість); (3.23)

S(x, у)= S(у, х) (комутативність); (3.24)

S(x, S(у, z))= S(S(x, у), z) (асоціативність); (3.25)

S(x, у) ≤ S(z1, z2) (монотонність) (3.26)

якщо одночасно x ≤ z₁ и y ≤ z₂.

Як можна бачити, аксіоматика цих двох норм практично однакова, окрім першої аксіоми обмеженості конорми. Ця аксіома забезпечує виконання граничних умов, які повинні виконуватися для всіх операцій об'єднання нечітких множин, включаючи і звичайні множини. Типовою трикутною конормою є операція max-об’єднання нечітких множин.

Оскільки областю визначення і областю значень трикутних норм і конорм є інтервал [0, 1], то всі розглянуті раніше операції над нечіткими множинами можуть бути проілюстровані графічно з використанням так званого тривимірного одиничного куба. При цьому результатам операцій -перетину нечітких множин відповідає темніша область на графіці (рис. 4.6). Аналогічно на рис. 4.7 представлені операції -об’єднання нечітких множин в тривимірному просторі.

Рис. 4.6. Графічне представлення операцій –перетину нечітких множин в тривимірному просторі

Рис. 4.7. Графічне представлення операцій -об’єднання нечітких множин в тривимірному просторі

Контрольні питання

1. Рівність та домінування нечітких множин.

2. Бінарні операції над нечіткими множинами.

3. Альтернативні бінарні операції над нечіткими множинами.

4. Унарні операції над нечіткими множинами.

5. Нечіткі оператори(Т-норма, S- норма).

Тема 3. Нечіткі відношення, відображення Нечітке відношення і способи його завдання

Змістовно нечітке відношення визначається як будь-яка нечітка підмножина впорядкованих кортежів, побудованих з елементів тих або інших базисних множин, в якості яких в даному випадку використовуються універсуми. При цьому під кортежем, так само як і у разі звичайних множин, розуміється довільний набір або список впорядкованих елементів.

Визначення 5.1. У загальному випадку нечітким відношенням або, точніше, нечітким k-арним відношенням, заданим на множинах (універсумах) , називається деяке фіксована нечітка підмножина декартового твору цих універсумів. Іншими словами, якщо позначити довільне нечітке відношення через , то за визначенням , де – функція приналежності даного нечіткого відношення, яка визначається як відображення . Тут через позначений кортеж з k елементів, кожен з яких вибирається зі свого універсуму: , , … , .

Так само як і у разі звичайних множин з метою характеристики кількості універсальних множин, на основі яких будується те або інше нечітке відношення, прийнято називати нечітке відношення між елементами з двох універсальних множин – бінарним, між елементами трьох множин – тернарным, а в загальному випадку – к-арным відношенням. При цьому на форму і вигляд функції приналежності нечіткого відношення заздалегідь не накладаються ніяких обмежень.

Визначення 5.2. У теорії нечітких відношень порожнє нечітке відношення визначається як відношення, яке не містить жодного кортежу. Це відношення як і раніше позначається через і формально визначається як таке нечітке відношення, функція приналежності якого тотожно дорівнює 0 на всьому декартовому творі його універсумів. З цього визначення також виходить, що порожнє нечітке відношення співпадає із звичайним порожнім відношенням.

Визначення 5.3. Що стосується іншого крайнього випадку, то так зване повне нечітке відношення за своєю суттю співпадає із звичайним повним відношенням, яке, у свою чергу, дорівнює за визначенням декартовому твору відповідних універсумів .

Як його позначати – з міркувань зручності можна просто через X. Важливо уявляти собі, що функція приналежності повного нечіткого відношення тотожно дорівнює одиниці для всіх без виключення кортежів, тобто .

Особливе значення в нечіткому моделюванні мають бінарні нечіткі відношення, для завдання яких використовується одне або різні базисні множини (універсуми). У зв'язку з цим приведемо їх формальне визначення.

Визначення 5.4. У загальному випадку бінарне нечітке відношення задається на базисних множинах і визначається як нечітке відношення Тут – функція приналежності бінарного нечіткого відношення, яка визначається як відображення , а через позначений кортеж з двох елементів, при цьому .

Визначення 5.5. Стосовно бінарних нечітких відношень визначається так зване зворотне нечітке відношення. А саме, якщо задано бінарне нечітке відношення на декартовому творі, то зворотним до нього нечітким відношенням (позначається через ^-1) називається таке бінарне нечітке відношення, яке задане на декартовому творі а функція приналежності якого визначається за наступною формулою: