Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 11. Эллипс, симметричный относительно осей координат,

проходит через точки M1 x1, y1 ,

M 2 x2, y2

. Найти его полуоси, координаты

фокусов и эксцентриситет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 2,

 

 

, M 2 0,2

 

 

2. M1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

3

 

 

3,1 , M 2 15, 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M1 5 / 2,

 

 

/ 4 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

3.

M1 1, 4 2 , M 2 2,2

5

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2 2,

15 / 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12. Найти для гиперболы действительную и мнимую полуоси,

координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот.

 

 

 

 

 

 

 

1.

x2

 

y2

 

 

 

2.

 

x2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

16

4 1

 

 

36

 

16 1

 

 

 

 

 

3.

y2

 

x2

 

 

 

4.

 

 

 

2

9 y

2

64x 18 y 89 0

25

49 1

 

 

16x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 13. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса. Найти ее основные параметры.

 

1.

 

x2

 

y2

 

2.

 

x2

 

y2

 

 

25

9

1

4

 

9

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3.

 

x2

 

y2

 

4.

 

x2

 

y2

 

 

9

16

1

8

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

Задача 14. Составить уравнение параболы, проходящей через точку

M x, y

и

 

начало

координат

симметрично относительно оси Ol . Найти

координаты ее фокусов и уравнение директрисы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2, 4 , Ol Ox

 

M 2

 

 

 

1.

2.

2,2 , Ol Oy

 

3.

M 8, 8 , Ol Oy

4.

M 1,5 ,

Ol Ox

Задача 15. Определить тип поверхности второго порядка и найти уравнение ее сечений плоскостями 1 и 2 .

1.x2 3y2 18z 0 , 1 : z 2 0 , 2: : y 0

2.36x2 9 y2 4z2 36 0 , 1 : z 0 , 2: : x y 0

3.4x2 16 y2 z2 16 0 , 1 : z 4 0 , 2: : y 1 0

4.x2 y2 z2 53 0 , 1 : x 2 0 , 2: : x y 0

5.5x2 y2 50z 0, 1 : z 0.5 0 , 2: : x 0

6.x2 4 y2 16z2 16 0 , 1 : z 2 0 , 2: : y 2 0

96

Глава 6. Линейное программирование

6.1.Постановка задачи линейного программирования

Метод линейного программирования используется для планирования деятельности каких-либо экономических объектов, с учетом реально существующих ограничений, если:

задача сводится к определению числовых характеристик плана, обеспечивающего эффективную работу объекта с точки зрения выбранного критерия;

критерий эффективности, а именно, некоторая числовая характеристика линейно зависит от числовых характеристик плана;

ограничения, связанные с деятельностью экономического объекта, могут быть представлены с помощью линейных неравенств относительно

числовых характеристик плана.

Общая постановка экономико-математической модели (ЭММ) задачи линейного программирования имеет вид:

X T x

x

 

x

? – план

1 n

1

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

F ( X ) C X opt

– функция цели, где c j R, j 1, n

 

1 n n 1

min

A X

 

 

 

 

 

 

B

– ограничения, где aij , bi R; i 1, m, j 1, n

m n n 1

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 0 – естественные ограничения n 1

Каноническая форма задачи линейного программирования включает дополнительные переменные:

X T

x

x

x

0

д

n 1

n 2

n m

 

1 m

 

 

 

 

С помощью данных переменных ограничения задачи (в канонической форме) представляются в виде линейных уравнений:

A X E X д B

m n n 1 m m m 1 m 1

Задача линейного программирования может:

не иметь решения;

иметь единственное решение – оптимальный план;

иметь бесчисленное множество решений, оптимальных планов.

97

6.2.Взаимно-двойственные задачи линейного программирования. Теоремы двойственности

Анализ двух взаимно-двойственных задач линейного программирования позволяет ответить на множество вопросов оптимального моделирования деятельности экономического объекта.

Первая задача:

 

 

Вторая задача:

 

 

X T x

x

x

?

Y T y

y y

?

1 n

1

2

n

 

1 m

 

 

1

2

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(план)

 

 

 

 

(план)

 

 

 

 

 

 

F ( X ) C X max

 

Z (Y ) BT Y

min

 

 

1 n n 1

 

 

 

 

1 m m 1

 

 

(функция цели)

 

 

(функция цели)

 

 

A X B

 

 

AT Y CT

 

 

 

 

m n n 1

 

m 1

 

 

n m m 1

n 1

 

 

 

(ограничения)

 

 

(ограничения)

 

 

X 0

 

 

 

 

Y

0

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

(естественные ограничения)

(естественные ограничения)

Каноническая форма взаимно-двойственных

задач

включает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дополнительные неотрицательные переменные

 

X

д

, Y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

n 1

 

 

X ? Xд ?

 

 

Y ? Yд ?

 

 

n 1

m 1

 

 

m 1

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( X ) C X max

 

Z (Y ) BT Y

min

 

 

1 n n 1

 

 

 

 

1 m m 1

 

 

A X

E X д B

 

AT Y E Y CT

 

m n n 1 m m m 1

m 1

 

n m m 1 n n

 

д

n 1

 

 

 

n 1

 

X 0, X д 0

 

 

Y 0, Yд 0

 

 

n 1

m 1

 

 

m 1

 

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для анализа взаимно-двойственных задач полезны теоремы двойственности, сформулированные далее.

Теорема 1. Взаимно-двойственные задачи линейного программирования, одновременно, либо не имеют решения, либо имеют, причем: max F min Z .

98

Теорема 2.

Решения

взаимно-двойственных

 

задач

линейного

программирования

X o,Y o тогда и только тогда будут оптимальными, когда

выполняются следующие условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a yo c

 

 

 

 

 

 

 

yo

 

a

xo

 

 

 

 

 

xo

0, j 1, n ;

 

 

b 0, i 1, m

j

ij

i

 

j

 

 

 

 

 

 

i

 

ij

 

j

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

Примечание. Между переменными взаимно-двойственных задач

существует взаимно-однозначное соответствие:

 

 

 

 

 

 

 

 

X Yд , т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x j ym j ,

j 1, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X д Y , т.е. xn i yi ,

 

 

i 1,m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно теореме 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo yo

 

 

 

 

yo xo

 

 

 

 

 

 

 

0, j 1, n ;

 

0, i 1, m

 

 

j

m j

 

 

 

 

 

 

 

i

n i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 3. Для оптимальных решений взаимно двойственных задач

линейного программирования

X o,Y o

при достаточно малых изменениях b

выполняется следующее свойство: F X o yo b , i

 

 

 

i

1, m

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

6.3.Примеры экономических задач, приводящих к моделям задач линейного программирования

Пример 1. Для выпуска двух видов продукции предприятие использует три вида ресурсов. Обозначения:

aij , i 1,3, j 1,2 – расход i - ого вида ресурсов на производство одной единицы j - ого вида продукции;

bi , i 1,3 – запас i - ого вида ресурсов;

cj , j 1,2 – прибыль от единицы j - ого вида продукции;

xj , j 1,2 – план выпуска j - ого вида продукции;

yi , i 1,3 – цена i - ого вида ресурсов; Известны:

 

3

12

 

 

 

 

 

 

 

 

A

2

 

2

 

(ед.) − нормы расхода ресурсов на производство продукции,

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

C 4

6

(д. е.) − прибыль от реализации одной единицы продукции,

 

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

22

 

(ед.) − запасы ресурсов у предприятия.

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99

Составим экономико-математическую модель задачи определения плана выпуска продукции, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль:

 

x

 

 

 

X 1

? – план выпуска продукции

2 1

 

 

 

 

x2

 

 

 

F C X 4x1 6x2

max – прибыль (функция цели)

 

1 2 2 1

 

 

 

 

 

3x1 12x2 60

A X

B

 

 

2x1 2x2 22 – ограничения на ресурсы

3 2

2 1

3 1

 

2x2 7

 

 

 

 

X 0 – естественные ограничения

2 1

Каноническая форма задачи определения плана выпуска продукции, обеспечивающего предприятию максимальную прибыль, включает дополнительные неотрицательные переменные:

X T

x

x

x 0

− остатки ресурсов.

д

3

4

5

 

1 3

 

 

 

 

Ограничения задачи могут быть представлены с помощью дополнительных неизвестных в виде линейных уравнений:

 

 

3x1 12x2 x3 60

A X E X д

B

 

2x1

2x2 x4 22

 

3 2 2 1 3 3 3 1

3 1

 

 

2x2 x5 7

 

 

 

 

Составим математическую модель и дадим экономическое толкование двойственной задачи:

Y T y

y

2

y

? − цены ресурсов

1 3

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z BT Y

60 y

22 y

7 y

min

1 3

3 1

 

1

2

3

 

 

 

 

 

 

затраты на имеющиеся на предприятии запасы ресурсов

AT Y CT

 

3y

2 y

 

4

 

 

1

 

2

 

2 3 3 1

2 1

 

12 y1 2 y2 2 y3 6

ограничения со стороны продавца ресурсов

Y 0 – естественные ограничения

3 1

100

Источник: https://studfile.net/preview/15912971/

Смотрите также:

2418
3033
3499
A решение проблемы
Vse_testy_PVB
Анализ бизнес-планирования
Аттестация: понятие, назначение, порядок проведения
Влияние факторов среды на гаметогенез нерки р. Озерная (Западная Камчатка)
Всемирная история. от Нового времени до конца XX века. Гурина Е.М
Древнегреческий театр