Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Уравнение

гиперплоскости

,

перпендикулярной

вектору

N

a , a

2

,...,a

n

и проходящей через точку M

0

x0 , x0 ,...,x0 , имеет вид

1

x

... a

x

n

a x

x0 a

2

x0

n

x0 01

2

1

1

1

2

2

n

n

Уравнение

a1x1 a2 x2

... an xn b 0

называется общим уравнением

гиперплоскости

в n - мерном точечном пространстве. Вектор

N

a1, a2 ,...,an

называется нормальным вектором гиперплоскости. Если

b 0 , то гиперплоскость проходит через начало координат O 0,0,...,0 .

Расстояние

от

точки

M

0

x0

, x0 ,...,x0

до гиперплоскости :

1

2

n

a1x1 a2 x2

... an xn b 0

в

n - мерном

точечном пространстве

определяется по формуле

a x0

a

2

x0

... a

n

x0

b

s

1 1

2

n

a2

a

2 ... a2

1

2

n

задана уравнением a1x1 a2 x2

... an xn b 0 , то координаты точки одного

полупространства

являются

решением

неравенства

a1x1 a2 x2

... an xn b 0 , а координаты точки другого полупространства ‒

решением

неравенства

с

противоположным

знаком

a1x1 a2 x2

... an xn b 0 .

Уравнение

второго

порядка

относительно

двух

переменных

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0

называется

общим

уравнением кривых

второго порядка.

При

разных значениях

постоянных

коэффициентов

A, B,C, D, E, F уравнение

описывает

четыре

вида

линий

на

плоскости:

окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Окружность

‒ это

множество точек линии

на

плоскости,

x2 y2 6x 8y 16 0 и x2 y2 10x 4 y 13 0 .

Выделим

полные

квадраты

в

уравнениях

окружностей

x2 6x 9 y2 8y 16 9 0 и

x2 10x 25 y2 4 y 4 25 4 13 0 .

Отсюда

получаем

x 3 2

y 4 2

9

и x 5 2 y 2 2 16 .

Следовательно,

координаты центров окружностей равны O1 3,4 и O2 5, 2 .

Расстояние

между

центрами

окружностей

равно

постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Точки

F1 c,0 и

F2 c,0

y

называются

фокусами

эллипса,

расстояние между ними равно F1F2 2c

b

M

.

M x, y – произвольная

r2

Пусть

r

1

x

точка эллипса. Расстояния от точки M

a

F2

0

F1

a

до фокусов

эллипса F1M

и

F2M

b

называются

фокальными

радиусами

точки и обозначаются r1 и r2 .

Сумма

фокальных

радиусов ‒

величина

постоянная r1 r2 2a .

Рис. 1

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

y2

1,

b2

a2

где b

a 2 c2 , если a b и фокусы находятся на оси Ox . Параметры а и b

называются

полуосями

эллипса.

Отношение

с

1 называется

а

эксцентриситет -

12

.

13

с

a2 b2

a2 25

12

Эксцентриситет эллипса равен

.

а

a

a

13

87

Следовательно, a2 169 . Каноническое

уравнение эллипса, симметричного

относительно осей координат, имеет вид

x2

y2

1 или

x2

y2

1.

132

169

25

52

называются

фокусами

гиперболы,

y

расстояние между ними F1F2 2c .

Пусть

M x, y

–

произвольная

r2

M

точка гиперболы.

Расстояния от точки

r1

x

M до фокусов

гиперболы

F1

и F2

0

F2

F1

называются фокальными радиусами и

обозначаются r1 и r2 .

Модуль

разности

расстояний

фокальных

радиусов

‒

величина

постоянная

r2 r1

2a .

Рис. 2

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

x2

y2

1,

a2

b2

где b c2

а2 .

Параметры

a и

b называются

соответственно

действительной

и

мнимой

полуосями

гиперболы.

Отношение

с

1

а

формулами

r

х а

,

r

х а

.

Прямые

y

b

x ‒

называются

1

2

a

асимптотами гиперболы.

Гиперболы

x2

y 2

1 и

y2

x2

1 называются сопряженными.

a 2

b2

b2

a2

Пример 12. Запишем каноническое уравнение симметричной

относительно

оси

координат

Oy

гиперболы с

асимптотами

y 0.75x ,

фокусами.

Уравнение асимптот гиперболы

y (a / b)x 0.75x . Тогда b 0.75a и

уравнение гиперболы имеет вид

x2

42 y2

1. Точка

M 6,1.5 принадлежит

a2

32 a2

88

62

4

гиперболе.

Следовательно,

1. Получаем

а 4

2 , b 3

2 . Тогда

a2

a2

искомое уравнение гиперболы принимает вид

x2

y2

1. Расстояния между

32

18

вершинами

и

фокусами

соответственно

равны

s1 2a

и

s2 2c .

a2 b2

s 8

10

c

32 18 5

2 . Следовательно,

2

и s

2

2 .

1

Точка

F p / 2,0

называется

y

фокусом

параболы.

Величину

p

d M

называют параметром параболы.

Пусть

M x, y

–

произвольная

0

r

точка

параболы. Расстояние от точки

x

p

F

M

до

фокуса

F ,

называемое

2

фокальным радиусом, обозначим r .

Прямая

линия

x p / 2

называется директрисой. Расстояние от

директрисы до точки M равно d , а от

директрисы до фокуса F -

p .

Рис. 3

Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox

и с вершиной в начале координат, имеет вид y2 2 p x .

Фокальный радиус

равен r x p / 2 .

Парабола х2 2 p у симметрична относительно оси Oy , лежит в верхней

полуплоскости,

имеет фокус F 0, p / 2 и директрису

y p / 2 . Фокальный

Уравнение

второго порядка относительно

трех переменных

Ax2 By2 Cz2

Dxy Eyz Fxz Gx Hy Mz N 0

называется общим

x x

2 y y

2

z z

0

2 R2 ,

0

0

где x0 , y0 , z0 ‒ координаты центра сферы, R – радиус сферы.

После раскрытия скобок, получается общее уравнение сферы

x2 y2 z2 Gx Hy Mz N 0 ,

где G 2x , H 2 y

0

, M 2z

0

,

N x2

y

2 z2

R2 .

0

0

0

Пример 14. Составим уравнение сферы с центром в точке O 2, 3,1 и

проходящей через точку M 8, 5, 2 .

Точка

M 8, 5, 2 принадлежит

сфере

x 2 2

y 3 2 z 1 2 R2 .

Отсюда 8 2 2 5 3 2

2 1 2

R2,

R2 49 .

Нормальное уравнение

сферы имеет вид x 2 2 y 3 2 z 1 2 49 .

Пример 15. Составим уравнение сферы с центром в точке O 5, 2,4 и

радиусом,

равным

3.

Найдем

координаты

центра и радиус сферы