Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Она имеет только одно решение

k1 k2 0 .

Векторы

A2

и A3 линейно

независимы.

Пары векторов A ,

A

и A

, A

образуют базисы в пространстве R2 .

1

2

2

3

Разложим A3 по базису A1, A2 :

A3 1A1 2 A2

4, 2 1 2, 1 2 3, 1

Получаем систему:

2 1 3 2

4

1 2 2

Она имеет решение 1 2

и 2

0 . Тогда A3

2 A1 0 A2

2 A1.

Разложим A1 по базису A2 , A3 :

A1 k1A2

k2 A3 ,

2, 1 k1 3, 1 k2 4, 2 .

Получаем систему:

3k1 4k

2 2

1

k1 2k2

Она имеет решение k

0

и k

1

. Тогда A 0 A

1

A

1

A .

1

2

2

1

2

2

3

2

3

Пример 21. Векторы A1,

A2

и A3 образуют ортонормированный базис.

Найдем угол между векторами

X 3A1 A3

и Y 4 A1 A2 2 A3 .

3A1 A3 4A1 A2 2A3

3 4 1 2

cos

XY

14

X

Y

2

2

9 1 16 1 4

15

3A1 A3

4A1 A2

2A3

arccos

14

15

Задача 4. Даны координаты трех последовательных вершин

параллелограмма A(х A , y A , z A ) , B xB , yB , zB

и

C xC , yC , zC . Найти его

четвертую вершину D xD , yD , zD .

1.

A 3,4,7 , B 5,3, 2 , C 1,2, 3

2.

A 1, 2,3 , B 4,1,2 , C 5,2,7

3.

A 3, 4,2 , B 5,2, 3 , C 1,7, 2

4.

A 5,2,4 , B 3, 4,2 , C 6, 3, 3

заданными полярными координатами.

A

4,

B

3,

3

A

5,

B

2,

1.

,

2.

,

4

4

6

3

A

6,

B

8,

2

A

7,

B

5,

2

3.

,

4.

,

6

3

2

3

Задача 6. Заданы координаты точек

A(х A , y A , z A ) и

B xB , yB , zB .

Определить длину и направление вектора AB в декартовой системе координат.

1.

A 4, 2,6 , B 1,4,0

2.

A 2,2,0 , B 0, 2,5

3.

A 1,2,3 , B 3, 4, 2

4.

A 3,5,3 , B 4,3, 4

Задача 7. Найти проекцию

вектора b

CD на вектор

а

АВ , если

заданы точки A(х A , y A , z A ) , B xB ,

yB , zB , C xC , yC , zC и D xD , yD , zD .

Задача 8.

Определить длины векторов a и

b , на которых построен

параллелограмм

с

диагоналями

c

x1 i

y1

j

z1 k и

d

x2

i

y2 j z2

k .

1.

c

2 i

j 3 k , d

2 i

2 j 4 k

2.

c

3 i

2 j k , d

i

j k

3.

c

4 i

3 j 5 k , d

2 i

3 j

3 k

4.

c

2 i

2 j

4 k , d 3 i

2 j k

23

построенного на векторах

a

и

b .

1. a

2i k , b

2 i

j

k

2. a

i

j k , b

3 i

2 j

k

3. a

2 i

4 j

3 k , b

3 i

j

2 k

4. a

2 i

j , b

3 j k

Задача 10. Даны два единичных вектора m и

n , угол между которыми

равен 1200 . Найти

острый

угол

между диагоналями

параллелограмма,

построенного на векторах

a

и b , и проекцию вектора

b

на направление

вектора a .

1. a 2 m n ,

b m

3 n

2. a

2 m n , b

3 m n

3. a m 3 n , b

m

2 n

4. a

2 m 4 n , b m n

Задача

11.

Даны

радиус

векторы

трёх

последовательных

вершин

параллелограмма

ABCD :

rA

xA i

y A

j z A k ,

rB xB i

yB j

zB k ,

rC xC i

yC

j

zC k . Определить радиус вектор четвёртой вершины rD .

1. rA

2 i

2 j 3 k ,

rB

4 i 3 j 5 k , rC

i 4 j 6 k

2. rA

i 2 j k , rB

i

j k , rC

4 i 7 j 3 k

3. rA

2 i

j k , rB

3 i

3 j

k , rC i

6 j 7 k

4. rA

i 2 j 2 k ,

rB 2 i j

3 k , rC

i

3 j 5 k

xa , ya , za ,

Задача

12.

Определить

вектор

с

a

b ,

если

a

xb , yb , zb .

b

2,3,5

2,3,1 ,

1.

a

, b 1,2, 1

2.

a

b 1,2, 1

8, 2,3 ,

1, 4, 5

3,7, 3 ,

5, 1,2

3.

a

b

4.

a

b

Задача

13.

Вычислить

значения

площадей

треугольника

и

параллелограмма,

построенных

на

векторах

a xa

i ya j za k

и

b

xb i yb j

zb k .

1. a

2 i

3 j

5 k , b 3 i

j

2 k

2. a

2 j

2 k , b j

k

3. a

2 i

k , b

2 i

j

4 k

4. a

4 i

5 j 3 k , b

3 i

3 j

5 k

.

Задача 14.

Векторы

a

и

b

образуют угол

Вычислить площадь

параллелограмма, построенного на векторах

p 1 a 1 b

и

g

2 a

2 b

, если известны значения

а

и

b

.

1. p

a 3 b ,

g

3 a b , 300

,

a

1,

b

1

600 ,

2 ,

1

2. p

5 a

b ,

g a

2 b ,

a

b

3.

p

2 a b

,

g

a

b , 1200 ,

a

5 ,

b

4

450 ,

3 ,

3

4. p

a 2 b ,

g

3 a

2 b ,

a

b