равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. по ли
вни ВС. Следовательно, реакция R R направлена вдоль ВС.
Рассматривая теперь равновесие всей арки в целом, найдем, что на нее дей ствуют три силы: заданная сила F и реакции опор R g (направление которой мы
нашли) я R л- По теореме о трех силах (§ 6) линии дей ствия этих сил должны при равновесии пересекаться в одной точке; отсюда нахо дим направление реакции
R A - Модули реакций |
R A и |
R g можно определить |
из со |
ответствующего силового тре угольника.
Если ж е приложить силу F в точке Е и, рассуждая аналогичным образом, проделать необходимые построения (рис: 64, б), то убедимся, что в этом случае
реакции опор R A л R g окажутся другими и по модулю, и по направлению.
§ 19*. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ (КОНСТРУКЦИИ)
При решении задач статики реакции связей всегда являются величинами заранее неизвестными; число их зависит от числа и вида наложенных связей. Условия равновесия, в которые входят реакции связей и которые служат для их определения, называют обычно уравнениями равновесия. Чтобы соответствующая задача статики была разрешимой, надо, очевидно, чтобы число уравнений равновесия равнялось числу неизвестных реакций, входящих в эти уравнения.
Задачи, в которых число неизвестных реакций связей равно числу уравнений равновесия, содержащих эти реакции, назы вайся статически определенными, а системы тел (конструкции), для кото рых это имеет место — Статически определимыми.
Задачи же, в которых число неизвестных реакций связей больше числа уравнений равновесия, содержащих эти реакции, называются статически неопределенными, а системы тел (конструкции) для ко торых это имеет место — статически неопределимыми.
Например, подвеска, состоящая из |
с) |
||||||
двух тросов |
(рис. 65, а), будет стати |
|
|||||
чески |
определимой, |
так как |
здесь две |
|
|||
неизвестные реакции |
Г , и Г , |
войдут в |
|
||||
два уравнения равновесия |
(12) плос |
|
|||||
кой системы сходящихся сил. Подвес |
|
||||||
ка ж е, состоящая из |
трех |
лежащих в |
|
||||
одной |
плоскости тросов (рис. 65, б), |
|
|||||
будет |
статически |
неопределимой, так |
|
||||
как в ней число |
неизвестных |
реакций |
|
||||
равно |
трем |
(T lt |
T ti |
T t ), а уравнений |
|
||
равновесия |
по-прежнему |
только два. |
|
||||
Аналогично, горизонтальная балка, лежащая на двух опорах (рис. 66, а), |
|||||||
будет статически определимой, так как |
и здесь две неизвестные реакции Л \ и N , |
||||||
входят в два уравнения равновесия (33) плоской системы параллельных сил. Та кая ж е балка на трех опорах (рис. 66, б) будет статически неопределимой.
56
Рассмотрим еще арку, изображенную на рис. 67, а, где связями являю тся не подвижная шарнирная опора в точке А и шарнирная опора на катках в точке В. Такая арка будет статически определимой, поскольку здесь три неизвестные ре акции Л д , Y A , N g войдут в три уравнения равновесия (29) произвольной плоской
системы сил. |
Если же в точке В будет тоже |
неподвижная |
ш арнирная |
опора |
(рис. 67, б), |
то неизвестных реакций окажется |
четыре (Х а , |
Уа < Х д , |
Y g ), а |
уравнений равновесия останется три и арка станет статически неопределимой. Однако трехшарнирная арка, изображенная на рис. 61, будет статически оп
ределимой, так как, расчленив ее в шарнире С на две части, мы введем ещё две реакции Х с . Y c шарнира и неизвестных реакций станет шесть, но и уравнений рав новесия тоже шесть (по три для каждой части). С аркой, изображенной на рис. 67,6,
б) |
|
яг""** |
9Ш. |
I ш%. |
так поступить нельзя, поскольку разделив ее на две части, например, сечением, проведенным через точку С, мы получим в этом сечении систему распределенных
сил, которую можно привести к двум неизвестным силам Х с , Y c и паре с неизвест
ным моментом т с (см. § 20, задачу |
26). Следовательно, неизвестных реакций ста |
|
нет семь (Х а , Y A , Х в , Y g , Х с , |
Y c , тс ) и их |
из шести уравнений равновесия |
определить нельзя. |
|
|
Статическая неопределимость |
объясняется |
наложением лишних связей. Н а |
пример, для обеспечения равновесия балки, изображенной на рис. 66, достаточно двух опор и третья опора не нужна (балка считается абсолютно жесткой и не про гибающейся). Статически неопределимые конструкции можно рассчитывать, если учесть их деформации; это делается в курсе сопротивления материалов.
§ 2 0 * . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ
Внутренними усилиями в каком-нибудь сечении тела или кон струкции (балки, арки и др.) называют силы, с которыми части тела, разделенные этим сечением, действуют друг на друга. Метод опре деления внутренних усилий аналогичен методу, применяемому при изучении равновесия систем тел. Сначала рассматривают равновесие всего тела (конструкции) в целом и определяют реакции внешних связей. Затем сечением, в котором требуется найти внутренние уси лия, разделяют тело на две части и рассматривают равновесие одной из них. При этом, если система действующих на тело внешних сил плоская, то действие отброшенной части заменится в общем случае плоской системой распределенных по сечению сил; эти силы, как и в случае жесткой заделки (см. рис. 55), представляют одной при ложенной в центре сечения силой с двумя наперед неизвестными
составляющими X , У и парой с наперед неизвестным моментом т. Пример расчета дан в задаче 26.
Задача 26. Считая длину балки А В равной 1 м (задача 24, рис. 63), найти усилия в поперечном сечении балки, отстоящем от конца А на расстоянии А Е =
= 0 ,6 м (точка £ |
левее опоры С на рис. 63). |
Р е ш е н и е . |
Внешними связями для балки являются опора С и шарниры А |
и В . Реакции этих связей найдены в ходе решения задачи 24. Рассечем балку се чением аЬ и рассмотрим равновесие ее левой части (рис. 68). Действие отброшенной
части, согласно сказанному выше, заменяем двумя силами ЗГв, Y |
приложенными |
|||
в центре Е сечения, и парой с моментом mg. Со |
||||
ставляя для действующих на рассматриваемую |
||||
часть балки сил Х д, У д, Q, Х Е, Y E и пары с мо |
||||
ментом т Е условия равновесия |
(32), |
получим: |
||
XFk x * * X A + X E = 0 , |
2 F k y * * Y A + Y E- Q = О, |
|||
2m д (F *)s s m £ + О.бХя— 0,5Q = 0 . |
||||
По данным задачи 24 |
Q =200 Н, |
Х д = 150 Н , |
||
Y А= —75 Н . Пользуясь этими значениями, най |
||||
дем из составленных уравнений: |
|
|||
Х £ = — 150 Н, У£ = 2 7 5 Н , |
т£ = — 65Н -м . |
|||
Таким образом, на левую часть балки в сечении аЬ действуют: |
1) продольная хила |
|||
Х е , вызывающая в данном случае сжатие балки; 2) поперечная сила |
Y F, стремя |
|||
щ аяся сдвинуть примыкающую к сечению часть балки вдоль линии ab\ 3) пара с моментом т Е, называемым изгибающим моментом, которая в данном случае выаывает растяжение верхних волокон балки и сжатие нижних.
§ 2 1 * . РАСПРЕДЕЛЕННЫ Е СИЛЫ
В инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагруаками, распределенными вдоль данной поверхности по тому или ино му закону. Рассмотрим некоторые простейшие примеры распреде ленных сил, лежащих в одной плоскости.
Плоская система распределенных сил характеризуется ее ин тенсивностью q, т. е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньюто нах, деленных на метры (Н/м).
0) |
6) |
, |
а |
в) |
|
1 |
|||||
а |
|
|
|
- Н |
* ..н * |
|
гтТ |
|
/1 |
1 |
|
||
|
/ |
а |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
'S |
Рис. |
5 |
|
|
|
69 |
|
|
1) |
С и л ы , |
р а в н о м е р н о |
р а с п р е д е л е н н ы е |
|
в д о л ь |
о т р е з к а |
п.р я м о й |
(рис. 69, а). Для такой системы |
|
сил интенсивность q имеет постоянное значение. При статических расчетах эту систему сил можно заменить равнодействующей Q.
53
По модулю, |
0.=Щ- |
(35) |
|
||
Приложена сила Q в середине отрезка АВ. |
|
|
2) С и л ы , |
р а с п р е д е л е н н ы е в д о л ь |
о т р е з к а |
п р я м о й п о |
л и н е й н о м у з а к о н у (рис. |
69, б). Приме |
ром такой нагрузки могут служить силы давления воды на плоти ну, имеющие наибольшее значение у дна и падающие до нуля у по верхности воды. Для этих сил интенсивность q является величиной переменной, растущей от нуля до максимального значения qm.
Равнодействующая Q таких сил определяется аналогично равно действующей сил тяжести, действующих на однородную треуголь ную пластину ABC. Так как вес однородной пластины пропорциона лен ее площади, то, по модулю,
|
|
Q=0,5aqm. |
|
(36) |
Приложена сила Q на расстоянии а/3 от стороны ВС треугольника |
||||
ABC (см. § 35, п. |
2). |
' |
|
|
3) С и л ы , |
р а с п р е д е л е н н ы е |
в д о л ь |
о т р е з к а |
|
п р я м о й п о |
п р о и з в о л ь н о м у |
з а к о н у |
(рис. &9, в). |
|
Равнодействующая Q таких сил, по аналогии с силой тяжести, по модулю равна площади фигуры ABQE, измеренной в соответствую щем масштабе, и проходит через центр тяжести этой площади (во прос об определении центров тяжести площадей будет рассмотрен в § 33).
4) С и л ы , р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н н ы е п о д у г е о к р у ж н о с т и (рис. 70). Примером таких сил могут служить силы гидростатического давления на боковые стенки цилиндрического сосуда.
Пусть радиус дуги равен R, a Z.BOD = =/LAOD —a, где OD—ось симметрии, вдоль которой направим ось Ох. Действующая на дугу система сходящихся сил имеет равнодей
ствующую Q, направленную в силу симметрии вдоль оси Ох; при этом численно Q=QX-
Для определения величины Q выделим на дуге элемент, положение которого определяет ся углом ф, а длина ds=/?dcp. Действующая
на этот элемент |
сила |
численно |
равна |
dQ = |
|
=(/ds=^/?d<p, а |
проекция этой |
силы |
на |
ось Ох будет dQ *^ |
|
=dQ -cos ф—qR cos q> -dtp. Тогда |
|
|
|
||
|
a |
a |
|
|
|
Qx = |
^ dQx = qR J |
cos<p-d<p = |
2<7/?sina. |
||
|
- a |
- a |
|
|
|
Но из рис. 70 видно, |
что R sin a —AB/2. Следовательно, так как |
||||
Qx=Q, то |
|
Q=qh, |
|
(37) |
|
|
|
|
|||
59
где h —АВ — длина |
хорды, стяги |
вающей дугу ХВ\ |
д — интенсив |
ность. |
|
Задача 27. Н а консольную балку А В , размеры которой указаны на чертеже (рис. 71), действует равномерно распреде ленная нагрузка интенсивностью qt Н/м. Пренебрегая весом балки и считая, что силы давления на заделанный конец ра спределены по линейному закойу, опреде лить значения наибольших интенсивно
стей qm и q'm этих сил, если Ь— па.
Р е ш е н и е . Заменяем распределенные
силы их равнодействующими ~§, R п R ’, где согласно формулам (35) и (36)
Q = qeb, R = Q,5qma, R '= 0 ,6 q ^ a ,
я составляем условия равновесия (33) для действующих на балку параллельных сил:
™ <} + R R ’ = 0, 2т с (F„) — Д а/3 — Q (6/2 + а/3) = 0.
Подставляя сюда вместо Q, R и R ' их значения и решая полученные уравнения, найдем окончательно
Яя = (З л * + 2п) qt , q'm= (3я* - f 4л) Я,.
Например, при п = 2 получим qM— 16 <70, q’m= 2 0 q t , а при я = 4 qm= 5 6 q t , а
9 т —64 90Задача 28. Цилиндрический баллон, высота которого равна Я , а внутренний
диаметр d , наполнен газом под давлением pH /м*. Толщина цилиндрических сте нок баллона а. Определить испытываемые этими стенками растягивающие напря
ж ения |
в направлениях: 1) продоль |
|
|||||
ном |
и |
2) поперечном (напряжение , |^ | я |
< Q |
||||
равно |
отношению |
|
растягивающей |
|
|||
силы к площади |
поперечного |
сече |
|
||||
ния), считая a/d малым. |
|
|
|||||
|
Р е ш е н и е . |
1) |
Рассечем |
ци |
|
||
линдр |
плоскостью, |
перпендикуляр |
|
||||
ной |
его оси, на две части и рассмот- |
|
|||||
?им равновесие |
одной из них |
(рис. |
|
||||
2, а). |
Н а нее |
в направлении |
оси |
|
|||
цилиндра действуют: сила давления |
|
||||||
на дно |
F = (псР/4) р |
и распределен |
|
||||
ные по площади сечения силы (дей |
|
||||||
ствие |
отброшенной половины), рав |
Рис. |
|||||
нодействующую которых обозначим |
|||||||
|
При равновесии |
Q = F = w P p l4 . |
|
||||
Считая |
приближенно площадь поперечного сечения равной nda, получим для рас |
||||||
тягивающего напряжения 0 ! значение
CTj=Q!nda= (d/4a)p.
2) Рассечем теперь цилиндрическуюповерхность плоскостью, проходящей через ось цилиндра, на две другие половины и рассмотрим равновесие одной из них, считая, что все силы приложены к ней в плоскости среднего сечения (рис. 72, <5). Н а эту половину цилиндра действуют: а) равномерно распределенные
€0