Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

f 24. РЕАКЦИИ ШЕРОХОВАТЫХ СВЯЗЕЙ. УГОЛ ТРЕНИЯ

Реакция реальной (шероховатой) связи слагается из двух состав­ ляющих: из нормальной реакции N и перпендикулярной ей силы трения F. Следовательно, полная реакция R будет отклонена от

нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы

трения от нуля до F„t сила 7? изменяется от N до /?пр, а ее угол с нормалью растет от нуля до некоторого предельного значения <р» (рис. 75). Наибольший угол ф#, который полная реакция шерохова­ той связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения. Из чертежа видно, что

tg q*=F„t/N .

Так как F„P = / , JV, то отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакция R в зависимости от сдвигающих сил может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равно­ весие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол ф,.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверхности, приложить силу Р , образующую угол а с нормалью (рис. 76), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Р sin а будет больше F„„=

силой, образующей с нормалью угол а, меньший угла трения ф0, тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или самоторможения тел.

$ 26. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет мес­ то, когда сила трения равна F„v.

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изобра­ жают двумя ее составляющими N и jFnp. Затем составляют обычные

66

уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство Fnv= f 0N. Из полученной таким путем системы уравнений и определяют иско­ мые величины.

Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях, которые может иметь сила трения, т. е. при F ^.F „р, то ее тоже можно решить, рассмотрев предельное равновесие и уменьшая затем в полученном результате коэффициент трения /# до нуля *.

Отметим еще, что если в задаче надо определить значение силы трения F, когда равновесие не является предельным и fy= F np, то, как уже отмечалось в § 23, эту силу F следует считать неизвестной величиной и находить из соответствующих уравнений (см. вторую Часть задачи 29, а также задачи 151, 152, § 130).

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удоб­

нее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия отклонена от нормали к поверхности на угол ф0.

Задача 29. Груз весом Р = 10 Н лежит на горизонтальной плоскости (рис. 77).

Определить, какую силу Q, направленную под углом а = 3 0 ° к этой плоскости, иадо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффи­ циент трения груза о плоскость /0= 0 ,6.

Р е ш е н и е . Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него дей­ ствуют силы P~,Q, N и Fa f, Составляя условия равновесия в проекциях на о с е

равно O' cos 3 0 °= 2 У 3=3,46 Н; максимальная же си­

ла трения, которая может в этом случае развиться, будет Fnv= f0(P—O' sin 30°)= = 4 ,8 Н. Следовательно, груз останется в покое. При этом удерживающая его в равновесии сила трения F определится из уравнения равновесия в проекции на ось Ох и будет равна сдвигающей силе (F '= Q ' cos 30 = 3,46 Н), а не силе F „р.

Обращаем внимание на то, что при всех расчетах следует определять f np по формуле F„p= f0N, находя N из условий равновесия. Ошибка, которую часто до­ пускают в задачах, аналогичных решенной, состоит в том, что при подсчетах счи­ тают F„v= faP, в то время как сила давления на плоскость здесь не равна весу груза Р.

Задача 30. Определить, при каких значениях угла наклона а груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если его коэффициент трения о плоскость равен /0,

*В самом деле, когда равновесие является предельным, сила трения F = F„V=

= ftN . В остальных положениях равновесия F < ft N . Следовательно, в каждом ■з этих положений можно считать F = kN , где k< }0. При А =0 (или / 0= 0) получим положение равновесия, соответствующее случаю, когда связь является гладкой (идеальной).

Р е ш е н и е . Найдем сначала предельное положение равновесия, при кото­ ром угол а равен а пр. В этом положении (рис. 78) на груз действуют сила тяже­

сти Р, нормальная реакция N и предельная сила трения F„t . Строя из перечислен­ ных сил замкнутый треугольник, находим из него, чтоF np= M g а „ р. Носдругой стороны, F„t = ft N. Следовательно,

Полученный в задаче результат, выражаемый равенством (а), можно исполь­ зовать для экспериментального определения коэффициента трения, находя угол а лр из опыта.

Заметим еще, что так как /0= tg <р», где ф0— угол трения, то, следовательно, ®пр= Фв. т. е. наибольший угол а , при котором груз, лежащий на наклонной пло­ скости, остается в равновесии, равен углу трения.

Задача 31. Изогнутый под прямым углом брус опирается своей вертикальной частью о выступы А и В, расстояние между которыми (по вертикали) h (рис. 79, а). Пренебрегая весом бруса, найти, при какой ширине d брус с лежащим на его гори­ зонтальной части грузом будет находиться в равновесии при любом положении груза. Коэффициент трения бруса о направляющие равен /„.

Р е ш е н и е . Обозначим вес груза через Р, а его расстояние от вертикаль­ ной части бруса через I. Рассмотрим предельное равновесие бруса, при котором его

ширина d= d„p. Тогда на брус действуют силы Р, N, F, N ', F ', где F и Fr— пре­ дельные силы трения. Составляя условия равновесия (29) и беря моменты отно­ сительно центра А , получаем:

N — N '= О, F + F '— P = 0, N k - F d ap- P l = О,

где F = f0N , F '= f0N '. Из двух первых уравнений находим:

N = N ', P—2f0N.

Подставляя эти значения в третье уравнение и сокращая на N, получим

/!-/о < Ч -2/„;=0,

откуда

dnp—hifo—2/.

Если в этом равенстве уменьшать / 0 до нуля, то его правая часть будет расти до бесконечности. Следовательно, равновесие возможно при любом значении ^> ^ п Р- В свою очередь daf имеет наибольшее значение, когда 1=0. Значит брус будет в равновесии при любом положении груза (при 0), если будет выполнять­ ся неравенство d ^ h ff0. Чем меньше трение, тем d должно быть больше. При от­

сутствии трения (/„= ’0) равновесие невозможно, так как в этом случае получается d=

Приведем еще геометрическое решение задачи. При таком решении вместо

68

точке, где 6= а , равно Р), Получим:

Ра

Y = h \ <Юи l n Q-=/o<*-

Отсюда следует, что P/Q— ^ ,a или

Как видим, потребная сила Q зависит только от коэффициента трения f„ и угла а; от радиуса вала сила Q не зависит. При отсутствии трения (f0= 0) получаем, как и следовало ожидать, Q =P. Практически очень важен тот факт, что, увеличивая угол а (навивая нить), можно значительно уменьшить силу Q, необходимую для уравновешивания силы Р, что видно из 1-абл. 1. Например (см. табл. 1), натя­ жение в 1000 Н можно уравновесить силой всего в 2 Н, дважды обернув пенько­ вый канат вокруг деревянного столба.

Формула (42) определяет также отношение натяжений Р (ведущей) и Q (ве­ домой) частей ремня, равномерно вращающего шкив, если проскальзывание рем­ ня по шкиву отсутствует. Считая, например, при это м а= я и принимая для кожа­ ного ремня и чугунного шкива fe= 0,3, получим,

что отношение натяжений Q//>= e -#,*” »0,4. ЗАдача 33. К рычагу DE ленточного тормо^

за (рис. 82) приложена сила F. Определить тор­ мозящий момент Мг , действующий на шкив ра­ диуса R , если CD=2CE и коэффициент трения ленты о шкив /0= 0,5.

Р е ш е н и е . На шкив вместе с прилегаю­ щей к нему лентой АВ действуют приложенная в точке А сила Р, причем P— 2F, и приложенная

Следовательно;

Q = 2Fe- = 2Fe“ 6Я/8 я 0,28F.

Искомый момент

= (P -Q ) Я = 1,72 FR,-

Момент будет тем больше, чем меньше Q, т, е, чем больше коэффициент трения /, и угол а .

70