Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

по дуге полуокружности силы давления с интенсивностью q= pH \ согласно форму­ ле (37) равнодействующая этих сил R = q d = p H d \ б) распределенные по сечениям цилиндра силы (действие отброшенной половины), равнодействующие которых

обозначим S i и S ,, причем ввиду симметрии S ,= 5 2= S .

Из условий равновесия S t-{-S2= R , откуда S = p H d l2. Так как площадь сече­ ния, по которому распределена сила S , равна аН (площадью сечения дна цилинд­ ра пренебрегаем), то отсюда для растягивающего напряжения а а находим

ot = SlaH = (d/2a) р.

Как видим, растягивающее напряжение в поперечном направлении вдвое больше, чем в продольном.

$ 22*. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Пример решения задач на равновесие системы тел (см. § 18) дает расчет ферм. Фермой называется жесткая конструкция из прямо­ линейных стержней, соединенных на концах шарнирами. Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферму называют плоской. Места соединения стержней фермы называют узлами. Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах. При расчете фермы трением в узлах и весом стержней (по сравнению с внешними нагрузками) пренебрегают или распределяют веса стержней по уз­ лам. Тогда на каждый из стержней фермы будут действовать две силы, приложенные к его концам, которые при равновесии могут быть направлены только вдоль стержня. Следовательно, можно считать, что стержни фермы работают только на растяжение или на сжатие. Ограничимся рассмотрением жестких плоских ферм без лишних стержней, образованных из треугольников. В таких фермах число стержней k и число узлов п связаны соотношением

В самом деле, в жестком треугольнике, образованном из трех стерж­ ней, будет три узла (см., например, ниже на рис. 74 треугольник ABD, образованный стержнями 1, 2, 3). Присоединение каждого следующего узла требует два стержня (например, на рис. 74 узел С присоединен стержнями 4, 5, узел Е — стержнями 6, 7, и т. д.); следовательно, для всех остальных (п—3) узлов потребуется 2 (п—3) стержней. В результате число стержней в ферме k= 3 + 2 (n —3) = = 2 п—3. При меньшем числе стержней ферма не будет жесткой, а при большем числе она будет статически неопределимой.

Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и уси­ лий в ее стержнях.

Опорные реакции можно найти обычными методами статики (см. § 17), рассматривая ферму в целом как твердое тело. Перей­ дем к определению усилий в стержнях.

М е т о д в ы р е з а н и я у з л о в . Этим методом удобно поль­ зоваться, когда надо найти усилия во всех стержнях фермы. Он сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия

61

сил, сходящихся в каждом из узлов. Ход расчетов поясним на ков* кретном примере.

Рассмотрим изображенную на рис. 73, а ферму, образованную нз одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников; действующие на ферму силы пагенно равны:

узлы вместе со сходящимися в них стержнями от остальной фермы. Действие отброшенных стержней заменим силами, которые будут направлены вдоль соответствующих стержней и численно равны искомым усилиям S u S 2, . . . Изображаем сразу все эти силы на рисунке, на­ правляя их от узлов, т. е. считая все стержни растянутыми (рис. 73, а; изобра­ женную картину надо представить себе для каждого узла так, как это показано ка рис. 73, б для узла III). Если в результате расчета значение усилия в какомнибудь стержне получится отрицательным, это будет означать, что данный стер­ жень не растянут, а сжат *. Буквенных обозначений для сил, действующих вдоль стержней, на рис. 73 не вводим, поскольку ясно, что силы, действующие вдоль стержня I , равны численно S ,, вдоль стержня 2 — равны S 2 и т. д.

Начинаем с узла /, где сходятся два стержня, так как из двух уравнений равно­ весия можно определить только два неизвестных усилия.

Составляя уравнения равновесия для узла I, получим:

T v fS g cos 45°=0, ЛЧ-SX+ S JJ sin 45°=0.

Отсюда находим:

St = — F}f~2= —28,2 кН, St = — N - S„^ 2/2 = —F/2 = - 1 0 кН.

S , = — S4V "2 = 1 4 ,1 к Н, S, = SS = —3 0 кН, S ,= 0 .

* По этой причине принято, независимо от применяемого метода расчета, приписывать растягивающим усилиям знак *+», а сжимающим — знак «—».

62

Наконец, для вычисления S, составляем уравнение равновесия сил, сходящихся в узле V, проектируя их на ось B y. Получим K ^+Sjcos 45°=0, откуда S»=

= —3 0 1 ^2 = —42,3 кН.

Второе уравнение равновесия для узла V и два уравнения для узла V I можно составить как проверочные. Для нахождения усилий в стержнях эти уравнения не понадобились, так как вместо них были использованы три уравнения равнове­ сия всей фермы в целом при определении N , Х А и Уд (см. § 18).

Как показывают знаки усилий, стержень 5 растянут, остальные стержни сжаты; стержень 7 не нагружен (нулевой стержень).

Наличие в ферме нулевых стержней, подобных стержню 7, обнаруживается сразу, так как если в узле, не нагруженном внешними силами, сходятся три стерж­ ня, из которых два направлены вдоль одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Этот результат получается из уравнения равновесия в проекции на ось, перпендикулярную упомянутым двум стержням. Например, в ферме, изображен­

ной на рис. 74, при отсутствии силы Pt нулевым будет стержень 15, а следова­

тельно, и 13. При наличии же силы Р4 ни один из этих стержней нулевым не является.

Если в ходе расчета встретится узел, для которого число неиз­ вестных больше двух, то можно воспользоваться методом сечений.

М е т о д с е ч е н и й (метод Риттера). Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фер­ мы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется опре­ делить усилия, и рассматривают равновесие од,ной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. ё. считая стержни растянутыми (как и в методе вырезания узлов). Затем со­ ставляют уравнения равновесия в форме (31) или (30), беря центры моментов (или ось проекций) так, чтобы в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

Пример. Пусть требуется определить усилие в стержне 6 фермы, изображен­ ной на рис. 74. Действующие вертикальнее силы Р 1= Р ,= Р * = Р « = 2 0 кН, ре­ акции опор N x= N t —40 кН. Проводим сечение ab через стержни 4, 5, 6 и рассма­ триваем равновесие левой части фермы, заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдоль стержней 4, 5, 6. Чтобы найти 5«, составляем урав­ нение моментов относительно точки С, где пересекаются стержни 4 и 5. Полу­ чим, считая AD—DC— a и В С ± В Е ,

63

Усилия в стержнях 4 и 5 можно найти, составив уравнения моментов отно­ сительно центров В (точка пересечения стержней 5, 6) и А (точка пересечения стер­ жней 4, 6),

Чтобы определить усилие в стержне 9 той же фермы, проводим сечение dc через стержни 8, 9 ,1 0 и, рассматривая равновесие правой части, составляем урав­ нение проекций на ось, перпендикулярную стержням 8 и 10, Получим

откуда находим S ,. Усилия в стержнях 8 и 10 можно в этом случае найти, составив уравнения моментов относительно центров К и С.

Г лав * V I

ТРЕНИЕ

S 23. ЗАКОНЫ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ

Опыт показывает, что при стремлении двигать одно тело по по­ верхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному скольжению, называемая силой трения скольжения.

Возникновение трения обусловлено прежде всего шероховато­ стью поверхностей, создающей сопротивление перемещению, и на­ личием сцепления у прижатых друг к другу тел. Изучение всех особенностей явления трения представляет собой довольно слож­ ную физико-механическую проблему, рассмотрение которой выхо­ дит за рамки курса теоретической механики.

В инженерных расчетах обычно исходят из ряда установленных опытным путем закономерностей, которые с достаточной для прак­ тики точностью отражают основные особенности явления трения. Эти закономерности, называемые законами трения скольжения при покое, можно сформулировать следующим образом.

1* При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), которая может принимать любые значения от нуля до значения Fпр> называемого предельной силой трения.

64

Приложенная к телу сила трения направлена в сторону, про­ тивоположную той, куда действующие на тело силы стремятся его сдвинуть.

2. Предельная сила трения численно равна произведению стати­ ческого коэффициента трения на нормальное давление или нормаль­ ную реакцию:

Статический коэффициент трения /0— величина безразмерная; он определяется опытным путем и зависит от материала соприкасаю­ щихся тел и состояния поверхностей (характер обработки, темпера­ тура, влажность и т. п.).

3. Значение предельной силы трения в довольно широких пре­ делах не зависит от размеров соприкасающихся при трении по­

Следует подчеркнуть, что значение силы трения при покое опре­ деляется неравенством (40) и что, следовательно, это значение мо­ жет быть любым, но не большим, чем F np. Чему конкретно равна сила трения, можно установить, только решив соответствующую задачу (см. § 25). Величине F„v сила трения будет равна лишь тогда, когда действующая на тело сдвигающая сила достигает такого зна­ чения, что при малейшем ее увеличении тело начинает двигаться (скользить). Равновесие, имеющее место, когда сила трения равна

Fnf, будем называть предельным равновесием.

В заключение приведем значения коэффициента трения /0 для некоторых материалов: дерево по дереву 0,4—0,7; металл по металлу 0,15—0,25; сталь по льду 0,027.

Более подробные сведения даются в соответствующих справочни­ ках.

Все изложенное выше относилось к трению скольжения при покое. При движении сила трения направлена в сторону, противо­ положную движению, и равна произведению динамического коэф­ фициента трения на нормальное давление *:

F=fN.

Динамический коэффициент трения скольжения f также являет­ ся величиной безразмерной и определяется опытным путем. Значе­ ние коэффициента / зависит не только от материала и состояния поверхностей, но и в некоторой степени от скорости/'движущихся тел. В большинстве случаев с увеличением скорости коэффициент f сначала несколько убывает, а затем сохраняет почти постоянное значение.

* Это справедливо, как и формулы (39), (40), для сухого трення. Случай, ког­ да между телами имеется слой жидкой смазки, требует специального изучения и рассматривается в гидродинамической теории смазки.