Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

8 27*. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса R и веса Р, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости. Приложим

к оси катка силу Q (рис. 83, а), меньшую Fnp. Тогда в точке А воз­ никает сила трения F, численно равная Q, которая будет препятст­ вовать скольжению цилиндра по плоскости. Если считать Нормаль­

ную реакцию N тоже приложен- а) ной веточке А, то она уравновесит

силу Р, а силы Q и F образуют па­ ру, вызывающую качение цилинд­ ра. При такой схеме качение долж­ но начаться, как видим, под дей­ ствием любой, сколь угодно малой силы Q.

Истинная же картина, как по­ казывает опыт, выглядит иначе.

Объясняется это тем, что фактически вследствие деформаций тел касание их происходит вдоль некоторой площадки АВ (рис. 83, б).

При действии силы Q интенсивность давления у_ края А убывает, а у края В возрастает. В результате реакция N оказывается сме­

щенной в сторону действия силы Q. С увеличением Q это смещение растет до некоторой предельной величины k. Таким образом^ в

предельном положении на каток будут действовать пара Qnp, F о моментом Qnp/? и уравновешивающая ее пара N, Р с моментом Nk. Из равенства моментов находим Q„tR = N k или

качение.

Входящая в формулу (43) линейная величина k называется

коэффициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в сантиметрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и определяется опытным путем. Приведем приближенные значения этого коэффициента (в см) для некоторых материалов:

Дерево по д ер ев у .......................................... 0,05.-5-0,08

Отношение klR для большинства материалов значительно мень­ ше статического коэффициента трения / 0. Этим объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

71

Задача 34. Определить, при каких значениях угла а (рис. 84) цилиндр ра­ диуса R , лежащий на наклонной плоскости, остается в покое, если коэффициент

Глава VII

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

$ 28. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА И ГЛАВНОГО МОМЕНТА СИСТЕМЫ СИЛ

В § 8 было введено_понятие о моменте силы относительно центра О. Эго вектор m0(F), направленный перпендикулярно плос­ кости ОАВ (рис. 85), модуль которого согласно формуле (13) имеет значение

где m z(F) — момент силы F относительно оси г; у — угол между век­ тором m0 (F) и осью z. Из определения следует, что m z(F), как про-

72

екция вектора на ось, является величиной алгебраической (знак mz(F) определяется так же, как знак проекции любого вектора; например,

Найдем другое выражение для m z(F), позволяющее непосредст­ венно вычислять эту величину. Для этого проведем через произ­ вольную точку 0, оси г (рис. 85) плоскость ху, перпендикулярную этой_оси, и спроектируем АОАВ на эту плоскость. Так как вектор

m0 (F) перпендикулярен плоскости ОАВ, а ось г перпендикулярна плоскости OiAtBi, то угол у, как угол между нормалями к назван­ ным плоскостям, является углом между этими плоскостями. Следо­ вательно, если одновременно учесть равенство (44), то

2 пл. Д 0 1А1В1 = 2 пл. Д 0/lficosY = |m o (/:') Icos y = wi,(F).

Но, как видно из рис. 85, в треугольнике О И хВх сторона A xBi представляет собой одновременно проекцию Fху силы F на плоскость

ху (см. §5). Тогда 2 пл. A 0 1A 1B1= Fxuh=\m 0>(Fxu)\, где m0t(Fxy)—

Таким образом, момент силы F относительно оси г равен алгеб­ раическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпенди­ кулярную оси г, взятому относительно точки О* пересечения оси с этой плоскостью. Этот результат может служить другим определе­ нием понятия момента силы относительно оси.

Замечая как направлен поворот, который стремится совершить сила Fxy, когда mz(F)>0 (см. рис. 85; случай, когда m ,(F )< 0 получится, если изменить направление силы F на прямо противо­ положное), приходим к следующему выводу: момент силы относи­ тельно оси будет иметь знак плюс, когда с полоэкительного конца

оси поворот, который стремится совершить сила Fxy, виден проис­ ходящим против хода часовой стрелки, и знак минус — когда по ходу часовой стрелки.

Из рис. 85 видно еще, что если менять положение точки О на оси г, то и модуль и направление вектора т0 (F) будут при этом из­ меняться, но Д 0 И А , а с ним и значение mJJP) изменяться не будут. _

Механический смысл величины m*(F)_состоит в том, что она ха­ рактеризует вращательный эффект силы F, когда эта сила стремится повернуть тело вокруг оси г. В самом деле, если разложить силу F на составляющие Fxy и Fz, где Fz\\Oz (рис. 86^ то поворот вокруг оси г будет совершать только составляющая Fxv и вращательный эффект всей силы F будет, согласно формуле (45), определяться ве­ личиной mz(F). Составляющая же Fz повернуть тело вокруг оси г не может (она лишь может сдвинуть тело вдоль оси г).

73

В заключение рассмотрим подробнее, как вычисляется момент силы относительно оси г по формуле (45). Для этого надо (рис. 87): 1) провести плоскость ху, перпендикулярную оси г (в любом месте);

2) спроектировать силу F на эту плоскость и найти величину FXjl\

3) опустить из точки пересечения оси с плоскостью (на рис. 87 это

точка О) перпендикуляр на линию действия ~FXVи найти его длину Л; 4) вычислить произведение Fxyh\ 5) определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:

1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси ра­ вен нулю (так как F xv= 6);

2) если линия действия силы пересекает ось, то ее момент отно- , сительно оси также равен нулю (так как Л = 0).

Объединяя оба случая вместе, заключаем, что момент силы отно­ сительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости-,

3) если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпен­ дикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произ­ ведению модуля силы на расстоя­ ние между линией действия силы и осью, т. е. вычисляется по форму­ ле (45), в которую вместо Fxy вой­

дет модуль силы F.

Задача 35. Найти моменты относи­

тельно осей х, у и г сил Р и Q, которые действуют на горизонтальную плиту, изо­ браженную на рис. 88.

Р е ш е н и е . 1. Сила Р параллельна оси г\ она перпендикулярна осям х и у и проходит от них на расстояниях Ы2 я а/2. Следовательно, с учетом знаков:

тх (Q) = bQ sin а .

74

Теперь вычисляем m„ (Q). Сила Q лежит в плоскости A BD , перпендикулярной оси у и пересекающейся с нею в точке В. Следовательно, Qx z — Q- Опуская из точки

В перпендикуляр на линию действия силы Q (см. вспомогательный чертеж спра­ ва), находим, что его длина h = a sin а, Окончательно, учитывая направление по­ ворота! получаем

т у (Q) = — Qa sin а .

Наконец, для вычисления тг (Q) проектируем силу Q на плоскость ху и нахо­ дим, что Qxy— Q cos а , а плечо этой проекции относительно точки О равно Ь. Поэтому с учетам знака

тг (Q) = *Q cos а.

Т е о р е м а В а р й н ь о н а д л я м о м е н т о в с и л ы о т н о с и т е л ь н о о с и . Если обе части векторного равенства (24) из§ 13 спроектировать на какую-нибудь ось г, проходящую через центр 0, то согласно формулам (44) получим

(46)

Следовательно, теорема Вариньона о моменте равнодействующей справедлива и для моментов относительно любой оси. Теоремой осо­ бенно удобно пользоваться для нахождения моментов силы относи­ тельно координатных осей, разлагая силу на составляющие, парал­ лельные осям или их пересекающие.

Задача 36. Найти моменты относительно осей х, у, г силы Q, приложенной ■ плите в точке D (рис. 89),. если О А= а, ОВ=Ь и толщина плиты А; угол а задан.

Р е ш е н и е . Разлагая силу Q на составляющие Q, и Q3, параллельные соот­ ветственно осям х и г, где по модулю Qi—Q cos a , Qt = Q sin а , и применяя теоре­ му Вариньона, получим:

вольно просто (с ее помощью легко найти моменты силы Q и в задаче 35). Поэтому рекомендуется во всех подобных случаях пользоваться данной теоремой. При неко­ тором навыке все подсчеты легко проделать, опуская промежуточные выкладки;

например, сразу видно, что mx (Q)=(Q sin рс ) Ь и т. д.

А н а л и т и ч е с к и е ф о р ­ м у л ы д л я м о м е н т о в с и ­ л ы о т н о с и т е л ь н о к о о р ­ д и н а т н ы х о с е й . Разложим

силу F, приложенную в точке А с координатами х, у, г, на составля­

ющие Fx, Fy, Ft, параллельные

75