Окончательно при а = 30° будет:
ЛГ,= ЛГ,= ЛГ,=2М/За, N t = N f = N t= — 4Ml3a.
Полученные результаты показывают, что действием заданной пары верти кальные стержни растягиваются, а наклонные сжимаются.
Из рассмотренного примера видно, что при решении задач не всегда обязательно пользоваться условиями равновесия (51). Для пространственной системы сил, как и для плоской, существует не сколько форм условий равновесия, из которых форма (51) является основной.
В частности, можно доказать, что для равновесия пространствен ной системы сил необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю суммы моментов всех сил относительно шести осей, направленных или по ребрам какой-нибудь треугольной пирамиды, или по боковым ребрам и ребрам основания треугольной призмы.
Последние условия и были использованы при решении задачи 44.
Глава VIII
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
f 31. ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
Понятие о центре параллельных сил используется при решении некоторых задач механики, в частности при определении положений центров тяжести тел.
Рассмотрим сначала две параллельные силы Ft и Ft, приложен ные к телу в точках А± и >4, (рис. 103). Очевидно, что эта плоская
система сил имеет равнодействующую R = F i + F t, линия действия которой параллельна слагаемым силам и проходит через некоторую
точку С, лежащую на прямой |
Положение точки С найдем с |
помощью теоремы Вариньона. |
Согласно этой теореме тс (R) = |
= m c(Fl)+mc(F1) или 0 = F 1A1—FJit =Fx-АУ -cos a —Ft -AtC -cos a,
откуда |
|
F1-AlC=Ft -AtC. |
(54) |
В равенство (54)_входяТ модули Ft и F. |
рассматриваемых сил. |
Поэтому, если силы Fx и Ft повернуть около точек At и А , в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то образуются две новые па раллельные силы F[ и F't, имеющие те же модули Fi, Ft; следова тельно, для сил F'lt равенство (54) сохранится и линия действия их равнодействующей R ' тоже пройдет через точку С. Такая точка называется центром параллельных сил и Ft.
Теперь рассмотрим систему параллельных и одинаково направ ленных сил Flf F .......... . Fn, приложенных к твердому телу в точках
86
Ai, |
• • -i An (рис. 104). Эта система сил |
имеет равнодействую |
щую R —l F k, модуль которой |
|
|
|
R = 2 F h. |
(55) |
Если каждую из сил системы поворачивать около точки ее при ложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол, то будут получаться новые системы одинаково направленных параллельных сил. с теми же модулями и точ-
г
Рис. 103 |
Рис. 104 |
гое направление. Покажем, что при всех таких поворотах линия действия равнодействующей проходит через одну и ту же точку С.
В самом деле, сложив сначала силы F* и Ft, найдем по формуле (54), 4Y0 их равнодействующая Ri (на рис. 104 не показана) будет всегда проходить через точку cit положение которой определяется равенст
вом F.1'A1Ci=Ft -AiCi. Сложив затем силы Ri и F3, найдем, что их равнодействующая, являющаяся одновременно равнодействующей
сил Fu Ft, Ft, всегда проходит через аналогично определяемую точ ку с„ лежащую на прямой с,Л,, и т. д. Доведя этот процесс последо вательного сложения сил до конца, убедимся, что равнодействую
щая R всех сил действительно проходит всегда через одну и ту же точку С, положение которой по отношению к точкам A lt А ,, . . Ап, т. е. к телу, будет неизменным.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействую щей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, называется центром параллельных сил.
Найдем координаты центра параллельных сил. Положение точки
С по отношению к телу является неизменным и от выбора системы координат зависеть не будет. Возьмем поэтому произвольные коорди натные оси Охуг и обозначим в этих осях координаты точек: ^4! (jCi, Уи Zi), A t (xt, У>, г,)..........С(хс, Ус, *с)- Пользуясь тем, что от на правления сил положение точки С не зависит, повернем сначала
87
силы около их точек приложения так, чтобы они стали параллель*
ны оси Ог, и применим к повернутым силам F[, F't, . . ., F'n теорему
Вариньона. Так как /?' является равнодействующей этих сил, то по формуле (46), беря моменты относительно оси Оу, найдем, что
my (R ') = ^ n y{F'k). |
(56) |
Но из чертежа [или из равенств (47)] видно, что my(R')=Rxc, |
|
так как /?'= /?; аналогично my(F'1)=F1x1, так как F^—Fi, |
и т. д. |
Подставляя все эти величины в равенство (56), получим |
|
Rxc = FlXl + / > , + . . . + Fnxn==2 РкЧ-
Отсюда определим хс .
Для координаты у с аналогичную формулу найдем, беря моменты относительно оси Ох. Чтобы определить гс, повернем опять все силы, сделав их параллельными оси Оу, и применим к этим силам (изобра женным пунктиром с точками) теорему Вариньона, беря моменты относительно оси Ох. Эго даст.'
— Rzc = — F&i + (— Ftzt) + Fez„),
откуда определим zc.
Окончательно получим следующие формулы для координат цент
ра параллельных сил: |
|
xc = w 'E *F*xi‘' Ус = т ?'£ ркУ1» = |
(57) |
где R определяется равенством (55).
Заметим, что формулы (55) и (57) будут справедливы и для па раллельных сил, направленных э разные стороны, если считать Fh величинами алгебраическими (для одного направления со знаком плюс, а для другого — минус) и если при этом R^O .
| 32. СИЛОВОЕ ПОЛЕ.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Область, в каждой точке которой на помещенную туда материаль ную частицу действует сила, зависящая от положения (координат) этой точки, называется силовым полем *. Примером силового поля является поле тяготения (поле сил притяжения к Земле иликлюботу другому небесному телу).
На каждую частицу тела, находящегося вблизи земной поверх ности, действует направленная вертикально вниз сила, которую называют силой тяжести (вопрос о том, что собой представляет сила
*Такое силовое поле взвывают, стационарным. Если же значения сил могут
еще изменяться с течением времени, поле называется нестационарным. Понятие о поле может быть введено и для других векторов, которые такое векторное поле образуют, например для скоростей или ускорений точек тела (см. § 48, 51).
88
тяжести, будет рассмотрен в§ 92). Эти силы образуют поле сил тяже сти.
Для тел, размеры которых очень малы по сравнению с земным ра диусом, силы тяжести, действующие на частицы тела, можно счи тать параллельными друг другу и сохраняющими для каждой час тицы постоянное значение при любых поворотах тела. Поле тя жести, в котором выполняются эти два условия, называют однородным, полем тя жести.
_ Равнодействующую сил |
тяжести ри |
Р*. • • •, Рп, действующих на |
частицы дан |
ного тела, обозначим Р (рис. 105). Модуль
этой силы называется весом тела |
и опреде |
ляется равенством |
|
Р = 2 р к. |
(58) |
При любом повороте тела силы рк остают ся приложенными в одних и тех же точках тела и параллельными друг другу, изменяет
ся только их направление по отношению к телу. Следовательно, по
доказанному в § 31, равнодействующая Р сил рк будет при любых положениях тела проходить через одну и ту же неизменно связан ную с телом точку С, являющуюся центром параллельных сил тя
жести ph. Эта точка и называется центром тяжести тела. Таким образом, центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия дейст вия равнодействующей сил тяжести, действующих на частицы дан ного тела, при любом положении тела в пространстве. Что такая точка существует, следует из доказанного в §31.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, оп
ределяются формулами (57); следовательно, |
|
*с = тг£/>***. Ус = у^Р кУ н< zc = jr Y * Рк2к' |
(59) |
где xh, y h, zh — координаты точек приложения сил тяжести |
рк, |
действующих на частицы тела.
Отметим в заключение, что согласно определению центр тя жести — это точка геометрическая; она может лежать и вне пределов данного тела (например, для кольца).
§ 33. КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
Для однородного тела вес рк любой его части пропорционален объему vh этой части: pk=yvk, а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела, т. е. P= yV, где у — вес единицы объема.
Подставив эти значения Р и рк в формулы (59), заметим, что во всех суммах у как общий множитель выносится за скобки и сокраща
ется с у в знаменателе. В результате из формул (59) получим)
= |
= |
гс = у ^ vkzk. |
(60) |
Как видно, положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины у не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются форму лами (60), называют центром тяжести объема V.
Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело пред ставляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее
= = (61)
где 5 — площадь всей пластины; sh — площади ее частей.
Точку, координаты которой определяются формулами (61), на зывают центром тяжести площади S.
Точно так же получаются формулы для координат центра тя жести линии:
* с =27 ^ 1кхк' Ус = т 1< zc = ^ ^*г*« (62)
где L — длина всей линии; — длины ее частей.
По формулам (62) Можно находить центры тяжести изделий из тонкой проволоки постоянного сечения.
Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.
§ 34. СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ТЕЛ
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конк ретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. С и м м е т р и я . Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.
Допустим, например, что однородное тело имеет плоскость сим метрии. Тогда этой плоскостью оно разбивается на две такие части, веса которых pt и р , равны друг другу, а центры тяжести находят ся на одинаковых расстояниях от плоскости симметрии. Следова тельно, центр тяжести тела как точка, через которую проходит
равнодействующая двух равных и параллельных сил pi и р 2, будет действительно лежать в плоскости симметрии. Аналогичный ре зультат получается и в случаях, когда тело имеет ось или центр симметрии.
Из свойств симметрии следует, что центр тяжести, однородного круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, прямо угольного параллелепипеда, шара и других однородных тел, имею-
90