щих центр симметрии, лежит в геометрическом центре (центре сим метрии) этих тел.
2. Р а з б и е н и е . Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосред ственно вычислить по формулам (59) — (62). При этом число сла гаемых в каждой из сумм будет .равно числу частей, на которые разбито тело.
Задача 46. Определить координаты центра тяжести однородной пластины, изображенной на рис. 106. Все размеры даны в сантиметрах.
Р е ш е н и е . Проводим оси х, у и разбиваем пластину на три прямоугольни ка (линии разреза показаны на рис. 106). Вычисляем координаты центров тяжести каждого из прямоугольников и их площади (см. таблицу).
|
№ |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
** |
—1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
Ук |
1 |
5 |
9 |
|
|
|
|
S* |
4 |
20 |
12 |
?! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
106 |
Площадь |
всей пластины S = s ,+ s ,+ s j= 3 6 см*. |
|
|
||||
Подставлял вычисленные величины в формулы (61), получаем: |
|||||||
|
|
*isi + |
*as« + |
xasa —4 -f- 20 -(- 60 |
„ 1 |
|
|
|
|
= ---------- S---------- ----------- 36-------- = 2 9 см’ |
|
||||
|
|
УА+У**» + !/iss |
4+ 100+ 108 |
с 8 ___ |
|
||
|
|
Ус = -------- 5-------- = |
------ 36------= |
5-9-см. |
|
||
Найденное положение центра тяжести С показано на чертеже; точка С ока- |
|||||||
еалась |
вне пластины. |
|
|
|
|
|
|
3. |
Д о п о л н е н и е . . |
Этот способ является |
частным случаем |
||||
способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и выре занной части известны.
Задача 46. Определить положение |
центра тяжести |
|||
круглой пластины радиуса R с вырезом |
радиуса г (рис. |
|||
107). Расстояние С,С2= а . |
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Центр тяжести |
пластины |
лежит на |
|
линии Ci С2, так |
как эта линия |
является |
осью сим |
|
метрии. Проводим координатные оси. Для нахождения координаты хс дополняем площадь пластины до пол ного круга (часть 1), а затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного круга (часть 2). При этом площадь ч4сти2, как вычитаемая, должна браться со знаком минус. Тогда st= n R 3, s3= —я гг, % = 0 , ха
91
Подставляя найденные значения в формулы (61), получаем:
*1*1 + •***»
S R — г
Найденный центр тяжести С, как видим, лежит левее точки Of.
4. И н т е г р и р о в а н и е . Если тело нельзя разбить на не сколько конечных частей, положения центров тяжести которых известны, то тело разбивают сначала на произвольные малые объемы Avh, для которых формулы (60) принимают вид
(63)
где xh, у к, zh — координаты некоторой точки, лежащей внутри объе ма A tv Затем в равенствах (63) переходят к пределу, устремляя все At»k к нулю, т. е. стягивая эти объемы в точки. Тогда стоящие в равенствах суммы обращаются в интегралы, распространенные на весь объем тела, и формулы (63) дают в пределе:
*c = i r f * d y , |
'/c = 7 : f*/du, |
zc = p - J z dv. |
(64) |
(V) |
IV) |
{V) ^ |
|
Аналогично дгщ координат центров тяжести площадей й линий получаем в пределе из формул (61) и (62):
*с = 5- J * ds- ^ c = 5 - J |
(65) |
(S)(S)
*C= J- J xdl, yc = j- § y<M> 2c = t: jj |
2 d/. |
(66) |
||
Пример применения этих |
формул |
к определению |
координат |
|
центра тяжести рассмотрен в |
следующем параграфе. |
|
||
5. Э к с п е р и м е н т а л ь н ы й |
с п о с о б . |
Центры тяжести |
||
неоднородных тел сложной конфигурации (самолет, паровоз и т. п.) можно определять экспериментально. Один из возможных эксперименталь ных методов (метод подвешивания) состоит в том, что тело подвешивают на нити или тросе за различные его точки. Направление нити, на которой подвешено тело, будет каждый раз давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Другим возможным способом экспериментального определения центра тяжести является метод взвешивания. Идея этого метода ясна из рассмотренного ниже примера.
Пример. Покажем, как можно экспериментально определить одну из коорди нат центра тяжести самолета (расстояние а), если расстояние А В= 1 (рис. 108)
92
известно. Поставив колесо В на платформу весов, найдем взвешиванием силу дав ления колеса на платформу; тем самым будет найдена численно равная этой силе реакция Точно так же взвешиванием находим реакцию Ыг. Приравнивая за тем нулю сумму моментов всех сил относительно центра тяжести С самолета, полу
чаем JVja—Af, (/—a )= 0 , откуда |
находим a = W 1/(/V1+iV ,). |
Очевидно, N t + N ^ P , где |
Р — вес самолета. Если значение величины Р |
наперед известно, то для определения а можно обойтись только однократным взве шиванием.
§ 33. ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ
1. Ц е н т р т я ж е с т и д у г и о к р у ж н о с т и . Рас смотрим дугу А В радиуса R с центральным углом АОВ =2а. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ох (рис. 109). Найдем координату х с по формулам (66). Для этого выделим на дуге
АВ элемент М М ' длиной dl=R d f, положение которого определя ется углом ф. Координата х элемента М М' будет x —R соз ф. Под ставляя эти значения х и d/ в первую из формул (66) и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, полу чим:
В |
/?* |
а |
|
|
/?* |
I Г* |
(* |
cos ф d9 |
= 2 |
||
хс = -j- \ х d/ = |
- j- |
i |
-£- sin a, |
где L — длина дуги АВ, равная R -2а. Отсюда окончательно нахо дим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симмет рии на расстоянии от центра О, разном
|
x c —(R sin a)/a, |
(67) |
где угол а измеряется в радианах. |
|
|
2. |
Ц е н т р т я ж е с т и п л о щ а д и т р е у г о л ь н и к а . |
|
Разобьем площадь треугольника ABD (рис. |
110) прямыми, парал |
|
лельными стороне AD, на п узких полосок; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника. Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Анало гичный результат получается для двух других медиан. Отсюда за
ключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точ ке пересечения его медиан. При этом, как известно,
|
СЕ—ВЕ/3. |
(68) |
3. |
Ц е н т р т я ж е с т и п л о щ а д и к р у г о в о г о с е к |
|
т о р а . |
Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с централь |
|
ным углом 2а (рис. 111). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе,
5
при неограниченном увеличении числа п, эти секторы можно рас сматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса 2RI3. Следовательно, центр тяжести сек тора ОАВ совпадает с центром тяжести дуги DE, положение кото рого найдется по формуле (67). Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его оси симметрии на расстоянии от центра О, равном
(69)
Приведем без доказательств еще два результата.
4. Ц е н т р т я ж е с т и о б ъ е м а п и р а м и д ы (или к о н у с а ) . Этот центр С лежит на прямой С^Е (рис. 112), где £ — вершина, а Сг — центр тяжести площади основания пирамиды; при этом
CCx—ECjA. |
(70) |
Результат справедлив для любой многоугольной пирамиды и для конуса.
5. Ц е н т р т я ж е с т и о б ъ е м а п о л у ш а р а . Этот центр С лежит на оси Ох (оси симметрии, рис. 113), а его координата
x c =OC=3R/8, |
(71) |
где R — радиус полушара.
Формулы, определяющие координаты центров тяжести других однородных тел, можно найти в различных технических справочни ках.
Раздел второй
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава IX
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§36. ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ
Кинематикой называется раздел механики, в котором изуча ются геометрические свойства движения тел без учета их инертно сти (массы) и действующих на них сил.
Кинематика представляет собой, с одной стороны, введение в
динамику, так как установление основных кинематических понятий и зависимостей необходимо для изучения движения тел с учетом действия сил. С другой стороны, методы кинематики имеют и са мостоятельное практическое значение, например, при изучении пе редач движения в механизмах.
Под движением мы понимаем в механике изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.
Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучает ся движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. В дальнейшем будем говорить о движении тела (или точки) по отношению к данной системе отсчета, подразумевая под этим движение по отношению к тому телу, с которым эта система отсчета связана. Изображать сис тему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны). Выбор системы отсчета в кинематике произволен (определяется целью исследования), и в отличие от ди намики (см. § 74) все кинематические зависимости, полученные при изучении движения в какой-нибудь одной системе отсчета, будут справедливы и в любой другой системе отсчета.
Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем как трехмерное евкли дово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается 1 м. Время в механике считается универ сальным, т. е. протекающим одинаково во всех рассматриваемых
95