системах отсчета. За единицу времени принимается 1 с. Размерность длины обозначается символом L, а времени — символом Т. '
Евклидово пространство и универсальное время отражают реаль ные свойства пространства и времени лишь приближенно. Однако, как показывает опыт, для движений, которые изучаются в механике (движения со скоростями, далекими от скорости света), это прибли жение дает вполне достаточную для практики точность.
Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величи ной. В задачах кинематики время t принимают за независимое пере менное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д ;) рассматриваются как изменяющиеся стечением вре мени, т. е. как функции времени t. Отсчет времени ведется от не которого начального момента (/= 0), о выборе которого в каждом случае условливаются. Всякий данный момент времени t определя ется числом секунд, прошедших от начального момента до данного; разность между какими-нибудь двумя последовательными момен тами времени называется промежутком времени.
Почерпнутые из опыта и подтвержденные практикой основы, на которых строится кинематика, дают аксиомы геометрии. Никаких дополнительных законов или аксиом для кинематического изучения движения не требуется.
Д ля решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).
Кинематически задать движение или закон движения тела (точ ки) — значит задать полозхение этого тела (точки) относительно данной системы отсчетов любой момент времени. Установление ма тематических способов задания движения точек или тел является одной из важных задач кинематики. Поэтому изучение движения любого объекта будем начинать с установления способов задания этого движения.
Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан ное движение.
Изучение кинематики начнем с изучения движения простейшего объекта — точки (кинематика точки), а затем перейдем к изучению кинематики твердого тела.
Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от носительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называ ется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.
§ 37. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Д ля задания движения точки можно применять один из следую щих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. |
В е к т о р н ы й с п о с о б з а д а н и я д в и ж е н и я |
т р ч к и. |
Пусть точка М движется по отношению к некоторой си |
стеме отсчет з Охуг. Положение этой точки в любой момент времени
96
можно определить', задав ее радиус-вектор г, проведенный из на чала координат О в точку М (рис. 114).
При движении точки М вектор { будет с течением времени изме
няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, г является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу мента t:
F=7(t). |
О) |
Равенство (1) и определяет закон движения точки в |
векторной |
форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор г и найти положение движущейся точки.
Геометрическое место концов вектора г, т. е. годограф этого век тора, определяет траекторию движущейся точки.
Аналитически, как известно, вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для
вектора г будет: гх—х, гу—у, гг=г (см. рис. |
114), где х, у, г — де |
|||||
картовы координаты точки. Тогда, если |
z |
|||||
ввести единичные |
векторы (орты) t, /, k |
|
||||
координатных осей, получим для г выра |
|
|||||
жение |
_ |
_ |
_ |
_ |
|
|
|
r = xi + yj |
+ zk. |
(2) |
jf |
||
Следовательно, зависимость (1) |
г от t |
|
||||
будет известна, если будут заданы |
коор |
У |
||||
динаты х, у, z точки как функции време- 1 |
||||||
ни. Такой способ задания движения точки |
Рис. 114 |
|||||
(координатный) |
рассмотрим ниже. |
Век |
|
|||
тор г может быть задан, как известно, и иными способами, например его модулем я углами с осями или проекциями на оси других систем координат. Для получения общих формул, независящих оттого, как
конкретно задан вектор г, будем исходить из векторного закона дви жения, представленного равенством ( 1).
< 2. К о о р д и н а т н ы й с п о с о б з а д а н и я д в и ж е н и я т о ч к и . Положение точки можно непосредственно опре делять ее декартовыми координатами х, у, г, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви жения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент вре мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости
y=f*(f). z = /,( 0 . |
<3) |
Уравнения (3) представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения *.
* Задать движение точки можно, пользуясь и другими системами координат, например полярными (см. § 47), сферическими и т. д.
7 -1 8 7 0 |
97 |
Есля движение точки происходит все время в одной и той же плоскости, то, приняв эту плоскость за плоскость Оху, получим в этом случае два уравнения движения:
*=Ы <). |
’ |
(4) |
Наконец, при прямолинейном движении точки, если вдоль ее траектории направить координатную ось Ох, движение будет опре деляться одним уравнением (законом прямолинейного движения
точки)
* = / ( 0 . |
(5) |
Уравнения (3) и (4) представляют собой одновременно уравне ния траектории точки в параметрической форме, где роль параметра
играет время t. Исключив из уравнений движения время t, можно найти уравнение траектории в обычной форме, т. е. в виде, дающем зависимость между координатами точки.
Пример. Пусть движение точки в плоскости Оху дано уравнениями: |
|
x= 2t, у= 121*, |
(а) |
где Xt у выражены в сантиметрах; t — в секундах.
По этим уравнениям мбжио найти, что в момент времени /= 0 точка находится в положении Мв (0, 0), т. е. в начале координат, в момент tx= 1с — в положении Mi (2,12) и т. д. Таким образом, уравнения (а) действительно определяют положе ние точки в любой момент времени. Давая t разные значения и изображая соот ветствующие положения точки на рисунке, можем построить ее траекторию.
Другим путем траекторию можно найти, исключу» t из уравнений (а). Из первого уравнения находим t—x!2 и, подставляя это значение t во второе уравне ние, получаем у=3хг. Следовательно, траекториейточки является парабола с вершиной в начале координат и осью, параллельной оси Оу. Другие примеры определения траектории точки см. в §41.
Е с т е с т в е н н ы й |
с п о с о б з а д а н и я д в и ж е - |
||||
т о ч к и . |
Естественным (илй траекторным) способом задания |
||||
|
движения |
удобно пользоваться в |
тех слу |
||
|
чаях, |
когда траектория движущейся точки |
|||
|
известна заранее. Пусть кривая АВ явля |
||||
|
ется траекторией точки М при ее движении |
||||
|
относительно системы отсчета Охуг (рис. |
||||
|
115). Выберем на этой траектории |
какую- |
|||
|
нибудь неподвижную точку О', которую |
||||
|
примем за начало отсчета, |
и установим на |
|||
|
траектории |
положительное |
и отрицатель- |
||
Рис. 115 |
ное направления отсчета (как на координат |
||||
|
ной оси). Тогда положение точки М на тра |
||||
ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М , измерейному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим зна ком. При движении точка М перемещается в положения Ми М„ . . ., следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент вре мени, надо знать зависимость
W W - |
(6) |
Уравнение (6) и выражает закон движения точки М вдоль тра ектории.
Таким образам, чтобы задать движение точки естественным спо собом, надо задать: i) траекторию точки; 2) начало отсчета на траек тории с указанием положительного и отрицательного направлений отсчета; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде s=f(t).
Заметим, что величина s в уравнении (6) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь. Например, если точ ка, двигаясь из начала О', доходит до положения М , (рис. 115), а затем, перемещаясь в обратном направлении, приходит в положе ние М, то в этот момент ее координата s=0'M , а пройденный за время движения путь будет равен 0'Л!1+Л11Л1, т. е. не равен s.
| 38. ВЕКТОР СКОРОСТИ ТОЧКИ
Одной из основных кинематических характеристик движе ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какойнибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится
в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто- ром г, а в момент tx приходит в положение М и определяемое векто ром ?! (рис. 116). Тогда перемещение точки за промежуток времени Ы = и —t определяется вектором М М и который будем называть вектором перемещения точки. Этот вектор направлен по хорде, если точка движется, криволинейно (рис. 116, а), и вдоль самой траек тории АВ, когда движение является прямолинейным (рис. 116, б).
Из треугольника ОММг видно, что г+ М М 1= г 1; следовательно,
М М 1 = г1— г — Дл.
Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток вре мени Дi:
= |
(7) |
7* |
99 |
Направлен вектор уср так же, как и вектор M M it т. е. при криво линейном движении вдоль хорды М М и в сторону движения точки, а при прямолинейном движении — вдоль самой траектории (от де ления на At направление вектора не изменяется).
Очевидно, что чем меньше будет промежуток времени At, для которого вычислена средняя скорость, тем величина vcv будет точ нее характеризовать движение точки. Чтобы получить точную характеристику движения, вводят понятие о скорости тонкие данный момент времени.
СкоростьюJ04KH в-данный момент времени t называется вектор
ная величина v, к которой стремится средняя скорость vtt при стрем лении промежутка времени At к нулю:
й = lim (vcp) = lim .
Д|-*0 Л/-+0
Предел отношения ArjAt при At -> 0 представляет собой первую производную от вектора г по аргументу t и обозначается, как и про
изводная от скалярной функции, символом d/Vdjf. Окончательно по лучаем
J T - * |
(8) |
Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
Так как предельным направлением секущей ММг является ка сательная, то вектор скорости точки в данный момент времени на правлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Формула (8) показывает также, что вектор скорости и равен от
ношению элементарного перемещения точки dr, направленного по касательной к траектории, к соответствующему промежутку вре мени At.
При прямолинейном движении вектор скорости v все время на правлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изме няться лишь численно; при криволинейном движении кроме чис лового значения все время изменяется и направление вектора ско рости точки. Размерность скоростц LIT, т. е. длина/время; в ка честве единиц измерения применяют обычно м/с или км/ч. Вопрос об определении модуля скорости будет рассмотрен в § 40 и 42.
1 39. ВЕКТОР УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ
Ускорением точки называется векторная величина, характери зующая изменение с течением времени модуля и направления ско рости точки.
Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка нахо дится в положении М и имеет скорость к, а в момент tx приходит в
100