Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода 1асовой стрелки, ©>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ю<0.

Размерность угловой скорости \/Т (т. е. 1/время); в качестве диницы измерения обычно применяют рад/с или, что то же, 1/с (с-1), ак как радиан — величина безразмер- [ая.

Угловую скорость тела можно изоб-

рнием времени угловой скорости тела. Если за промежуток врегени At —ti—t угловая скорость тела изменяется на величину Аш— =ю,—©, то числовое значение среднего углового ускорения тела а этот промежуток времени будет еср=Дш/Д/. В пределе при А/-+0 шйдем, учтя одновременно равенство (37), что

Таким образом, числовоезначение углового ускорения тела в данный

юмент времени равно первой производной от угловой скорости или торой производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/7** (1/время*); в качестве диницы измерения обычно применяется рад/с* или, что то же, 1/с*

с-).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение ела называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Легко (идетъ, что вращение будет ускоренным, когда величины ш и в (меют одинаковые знаки, и замедленным,— когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью)

южно также изобразить в виде вектора е, направленного вдоль >сн вращения. При этом

Направление е совпадает с направлением со, когда тело вращается

гскоренно (рис. 135, а), и противоположно ю при замедленном «ращении (рис. 135, б).

$ 50. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЯ

Если угловая скорость тела остается во все время движения потоянной (co=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы (37) имеем

dtp= cod/. Отсюда, считая, что в начальный момент времени t = О угол ф=<р*, и беря интегралы слева от ф. до <р, а справа от 0 до t, получим окончательно

Из равенства (39) следует, что при равномерном вращении, когда Ф«=0,

В технике скорость равномерного вращения часто оорелелшрт числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через лоб/мнн*. Найдем зависимость между п об/мин и ш 1/с. При окном обороте тело повернется на угол 2л, а при п оборотах на.2ял; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 с. Из равенства (40) следует тогда, что

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (е = const), то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в -началь­

Представим выражение (42) в виде

dф/d/=a>o+в/ или dф=<йod/+e/d/.

Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вра­ щения

Угловая скорость со этого вращения определяется формулой (42). Если величины ш и е имеют одинаковые знаки,. вращение будет равноускоренным, а если разные — равнозамедленным.

S 61. СКОРОСТИ и УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Установив в предыдущих параграфах характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. С к р р о с т и т о ч е к т е л а . Рассмотрим какую-ниб точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вра­ щения (см. рис. 134). При вращении тела точка М будет описывать

* Следует особо подчеркнуть, что л по размерности не угол, а угл скорость.

122

жружность радиуса ft, плоскость которой перпендикулярна оси фащения, а центр С лежит на самой оси. Если за время d/.проис- [одит элементарный поворот тела на угол d«p, то точка М при этом :овершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds= =ftd<p. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отнопению ds к d/, т. е.

[ЛИ

Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногда ще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося

твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстоя- \ие от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой жружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось ращения и точку М.

Так как для всех точек тела и имеет в данный момент времени дно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скорости очек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси ращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет 1ИД, показанный на рис. 136.

2.У с к о р е н и я т о ч е к ' т е л а . Для нахождения ускоре-

ия точки М воспользуемся формулами ax= dv/dt, an= v t/p.

В нашем случае р=Л. Подставляя значение v из равенства (44)

Касательная составляющая ускорения а* направлена по касаельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­ щении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная

оставляющая ал всегда направлена по радиусу М С к оси вращения !>ис. 137). —

123

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом |х, который вычисляется по формуле tgji= а х/ап [вторая из формул (22)]. Подставляя сюда зна­

Так как со и е имеют в данный момент временидля всех точек тела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол ц с радиусами описываемых ими окруж­ ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вцд, показанный на рис. 138.

Рис. 138 Рис. 139

Формулы (44) — (47) позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная движение одной точки тела, найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом.

3. В е к т о р ы с к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор г точки

модулю скорости точки М. Направления' векторов шХг и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерно­ сти их одинаковы. Следовательно,

124

г. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен вектор­

ному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки. Формулу (48) называют формулой Эйлера.

Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим

Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращаю­ щегося тела.

Вектор е Х г направлен,_ как и вектор соХг, т. е. по касательной к траектории точки М, а |еХ г\—гг sin a= eh . Вектор же a>Xi> на­ правлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М , а |<оХ Xt»|=o>t>sin 90°=coVi, так как v —mh. Учитывая все эти результаты, а также формулы (45), заключаем, что еХ г= ат и o>Xv=an.

Задача 54. Вал, делающий л=90 об/мин, после выключения двигателя на­ чинает вращаться равнозамедленно и останавливается через tt = 40 с. Определить, :колько оборотов сделал вал за это время.

Р е ш е и н е. Так как вал вращается равнозамедленно, то для него, считая

ц,=ял/30.

В момент остановки при <=/, угловая скорость вала <о1= 0 . Подставляя эта аначения во второе из уравнения (а), получаем:

0=nn/30+et1 и e = —nnl30i1.

Если обозначить число сделанных валом за время tt оборотов через N (не э«ешквать с п; я — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет ра­ ки q>,=2nAf. Подставляя найденные значения е и qx в первое из уравнений (а), юлучим

2яАг=(пл/30)<1-^-(ял/60)<1=(лл/60)/1,

>ткуда

N = n tj/120=30 об.

Задача 88. Маховик радиусом У?= 0,6 м вращается равномерно, делая л=» =90 об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Р е ш е н и е . Скорость точки обода o= R w , где угловая скорость ш должна 5ыть выражена в радианах в секунду. Тогда <0=яп/30=3я и о=/?*Зя«5,7 м/с.

Далее, так как <о=const, то е= 0, и, следовательно,

в = в я=7?ш, =/?*9я, «»53,3 м/с1.

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения. ЗадачЬ 56. Полагая, что при разгоне маховик вращается по закону

<p=ee + C i/-fc»e-«, (а)

шределнть значения постоянных коэффициентов с0, ct , с, и Л из условий, что при '= 0 должно быть $0 = 0 и <t>o= 0 и что предельная угловая скорость, до которой

№