Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Задача 59. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямо­ линейному рельсу без скольжения (рис. 148), если скорость центра С колеса

равна vc, а угол DKM = a.

Р е ш е н и е . Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем,

что й ^ = й с + й л ю где ОмсА^М и по модулю vAic= a-M C=a)R (R — радиус ко­ леса). Значение угловой, скорости ш найдем из условия того, что точка К колёса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени »*•= О. С дру­

гой стороны, так же как и для точки М , V^ = VC -\-Vk c , где ид-с = ш -/(С = ш Я . Так

как для точки К скорости v k c и vq направлены вдоль одной прямой, то при 1 ^ = 0 *>KC = VC >откуда ® =сс 'Л. В результате находим, что vjtfc=<nR=vc .

Параллелограмм, построенный на векторах v/^c и 1'с< будет при этом ромбом.

Угол между 1>с н~ймс равен р, так как стороны, образующие этот угол и угол р, взаимно перепендикулярны. В свою очередь угол р = 2 а , как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а . Тогда по свойствам ромба

углы между vc и ид| и между VM C и VM тоже равны а . Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перепендикулярны, получим

»Л1 = 21'c cos а и v^i J_ КМ .

Расчет, как видим, оказывается достаточно громоздким. В дальнейшем мы познакомимся с методами, позволяющими решать аналогичные задачи гораздо проще (см. задачу 61 в § 57).

{ 55. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА

Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, дви­ жущегося плоскопараллельно) с помощью формулы (52) связано обычно с довольно сложными расчетами (см. задачу 59). Однако исходя из этого основного результата, можно получить ряд других, практи­ чески более удобных и простых мето­ дов определения скоростей точек фи­ гуры (или тела).

Один из таких методов дает тео­ рема: проекции скоростей двух точек

твердого тела на ось, проходящую че­ рез эти точки, равны друг другу.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис. 149), получаем по формуле

(52), что vB= v A+ v SA. Отсюда, проектируя обе части равенства на

ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор vBA перпендику­ лярен АВ', находим

и теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство (54) не будет выполняться, то при движении расстояние между точками А и В должно изме­ ниться, что невозможно, так как тело считается абсолютно твердым. Поэтому равенство (54) выполняется не только при плоскопарал­ лельном, но и при любом движении твердого тела.

Доказанная теорема позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление скорости этой точки и ско­ рость какой-нибудь другой точки того же тела.

Задача 60. Найти зависимость между скоростями точек Л и в линейки эл­ липсографа (см. рис. 145) при данном угле <р.

Р е ш е н и е . Направления скоростей точек А и В известны. Тогда, проекти­

руя векторы 5^1 и VB на ось, направленную по А В, получим согласно доказанной теореме

11л cos <р—идcos (90°—ф),

откуда vA— vBtg ф.

$ 56. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ С ПОМОЩЬЮ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ О ЦЕНТРОИДАХ

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на поня­ тии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигу­ ры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом един­ ственная. Пусть в момент времени t точки А

перпендикулярен и АР, (так как vA± А Р ) и ВР (так как vB LBP), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точ­ ка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную

нулю (например, для точки.а проекция vB на линию Ва не равна нулю и, следовательно, va=£0 и т. д.).

Если теперь в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (52) скорость точки А будет

vA =~vP + vPA ^ v PA,

так как vp= 0 . Аналогичный результат получается для любой дру­ гой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры

определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При

* Размеры фигуры всегда можно представить себе такими, что точка Р будет принадлежать этой фигуре (см. ниже пример и рис. 151).

132

т. е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоя­

ниям от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам.

1. Д ля определения мгновенного центра скоростей надо знать то­

лько направления скоростей уА и vB каких-нибудь двух точек А к В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, вос­ ставленных из точек Л и В к скоростям этих точек (или к каса­ тельным к траекториям).

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо

знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, вос­ ставив из точек Л и В перпендикуляры к иА_и vB, построим мгно­

венный центр скоростей р и по направлению иА определим направ­ ление поворота фигуры. После этого, зная vA, найдем по формуле (56) скорость vM любой точки М плоской фигуры. Направлен век­

тор vM перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.

3. Угловая скорость © плоской фигуры равна в каждый данный

момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к

Равенства (57) и (58) определяют одну и ту же величину, так как по доказанному (см. § 52) поворот плоской фигуры вокруг точки А или точки Р происходит с одной и той же угловой скоростью (О.

Пример. Для линейки AD эллипсографа (рис. 151)-направления скоростей точек А и В известны. Восставляя к ним перпендикуляры, найдем мгновенный центр скоростей Я линейки (эллипсограф можно представить себе в виде листа фа-

133

т. е. тот же результат, что и в задаче 60. Для точки М аналогично найдем, что VM ~ VB (PMIPB). Длину РМ можно вычислить, зная АВ, AM и угол <р. Направ­

ление вектора vM показано на чертеже (OJHJ_PM).

Для угловой скорости линейки по формулам (57) или (58) находим

Легко проверить, что обе формулы дают один и тот же результат.

Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного

качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверх­ ности другого .неподвижного, то точка Р катящегося тела, касаю­ щаяся неподвижной поверхности (рис. 152), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (иР=0), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.

б) Если скорости точек А и В плоской фигуры_ параллельны

друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна vA (рис. 153, а), то мгновенный центр скоростей Лежит в бесконечности и скорости

всех точек параллельны vA. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что wAcosa=uBcosP, т. е. vB= vA\ аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рас­ сматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, я по направлению, т. е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей

(такое состояние движения тела назьГвают еще мгновенно поступа­ тельным). Угловая скорость со тела в этот момент времени, как видно из формулы (58), равна пулю.

в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны

Друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна vA, то мгновен­ ный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 153, б. Справедливость построений следует из пропорции (56). В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения цент-

134

фигуры и ее угловая скорость со, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к vB (см. рис. 150), можно

показано, что скорости точек плоской фигуры распределены в каждый момент времени так, как если бы движение этой фигуры представляло собой вращение вокруг центра Р. По этой причине точку неподвижной плоскости, совпадающую с мгновенным центром скоростей, которую мы также будем обозначать буквой Р. называет мгновенным центром вращения, а ось Рг, перпендикулярную сечению S тела (см. рис. 141) и проходящую через точку Р,— мгновенной осью вращения тела, совершающего плоскопараллельное движение. От неподвижной оси (или центра) вращения мгновенная ось (или центр) отличаются тем, что они все время меняют свое положение. В § 52 было установлено, что плоскопараллельное дви­ жение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вме­ сте с каким-то фиксированным полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Полученный результат позволяет дать другую геометрическую картину плоского движения, а именно: плоскопараллельное движение слагается из серии последовательных элементарных Поворотов вокруг непрерывно линяющих свое по­ ложение мгновенных осей (или центров) вращения.

Например, качение колеса, изображенного ниже на рис. 156, можно пред­ ставить себе или как совокупность поступательного движения вместе с полюсом С и вращения вокруг этого полюса, или же как серию элементарных поворотов вок­ руг непрерывно изменяющей свое положение точки касания Р обода с рельсом.

При движении плоской фигуры мгно­ венный центр Р непрерывно изменяет свое положение как на неподвижной плоскости Оху, так и на плоскости, связанной с дви-

жущейся фигурой. Геометрическое место мгновенных центров вращения, т. е. положений точки Р на неподвижной плоскости, называют неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей, т. е. положений точки Р в плоскости, связанной с фигурой и движущейся вместе с ней,— подвижной центроидой (рис. 154). В данный момент времени обе центроиды касаются друг друга в точке Р, являющейся для этого момента мгновенным центром вращения (или скоростей); пересекаться центроиды не могут, так как тогда в данный момент времени существовало бы больше одного мгновенного центра, что невозможно.

В следующий момент времени будут соприкасаться точки Р\ подвижной и Рг неподвижной центроид, и эта точка будет для следующего момента мгновенным центром вращения и т. д. Отсюда, поскольку положение мгновенного центра' Р изменяется непрерывно и в каждый данный момент времени Ор=0, можно заклю­ чить, что при плоскопараллельном движении происходит качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной. Наоборот, если материально осуществить обе центроиды, то геометрическую картину плоского движения твердого тела мож­ но получить, скрепив тело с подвшкиой центроидой я кате эту центроиду без скольжения по неподвижной.

135