Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

так как w=const. Окончательно находим закон равномерного кри­ волинейного движения точки в виде

Если в равенстве (25) положить $>=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно,, при равномерном движении путь, пройденный точкой, растет пропорционально времени, а скорости точки равна отношению пути ко времени:

3. Р а в н о м е р н о е п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е . В этом случае ап—ах= 0, а значит, и а = 0 . Заметим, что единствен­ ным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.

4. Р а в н о п е р е м е н н о е к р и в о л и н е й н о е д в и ­ ж е н и е . Равнопеременным называется такое криволинейное дви­ жение точки, при котором касательное ускорение остается все время постоянным: ат= const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=Q s=s», a v=ve, где vt — начальная скорость точки. Со­ гласно первой из формул (21) dv=axdt. Так как a t =const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим

Формулу (26) представим в виде

ds/dt—Vf+a^t или ds=i\,d/4-aT/d/.

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволи­ нейного движения точки

При этом скорость точки определяется формулой (26).

Если при криволинейном движении точки модуль скорости воз­ растает, то движение называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Так как изменение модуля скорости характеризуется

касательным ускорением, то движение будет ускоренным, если ве­ личины v и ах имеют одинаковые знаки (угол между векторами v и а острый, рис. 125, а), и замедленным, если разные (угол между

о и а тупой, рис. 125, б)

В частности, при равноперемет ном движении, если в равенстве

111

(26) о и Of имеют одинаковые знаки, движение будет равноускорен­ ным, а если разные знаки,— равнозамедленным.

Формулы (25) — (27) определяют также законы равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, если считать s= x. При этом в равенствах (26) и (27) ат= а , где а — чис­

молинейное движение точки, при котором ее расстояние х от начала координат О изменяется со временем по закону

между положениями Л1„ (+/4) и М у(—А). Колебания, происходящие по закону (28), играют большую роль в технике. Они называются простыми гармоническими колебаниями. Величина А, равная наи­ большему отклонению точки от центра колебаний О, называется

амплитудой колебаний.

Легко видеть, что, начиная движение в момент t=0 из положения M t, точка вновь придет в это положение в момент времени tu для

совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону. По знакам у и а легко проверить, что когда точка движется к центру колебаний, ее движение является ускоренным, а когда от центра колебаний,— замедленным.

Аналогичные колебания происходят и при законе x=Asmkt, только движение в этом случае начинается из центра О.

Гармонические колебания по закону s—Acoskt (или в=Л sinW) точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой (см., напри­ мер, в § 46 задачу 51). Все сказанное о характере движения при этом сохранится с той лишь разницей, что последняя из формул (29) будет определять касательное ускорение точки; кроме него точка будет еще иметь нормальное ускорение an=v*/p,

§45. ГРАФИКИ ДВИЖЕНИЯ, СКОРОСТИ

ИУСКОРЕНИЯ то ч к и

Если в соответствующих масштабах откладывать вдоль оси абс­ цисс время t, а вдоль оси ординат — расстояние s, то построенная в этих осях кривая s=f(f) будет изображать график расстояний, или график двиясения точки. По этому графику наглядно видно, как изменяется положение точки (ее координата s) с течением времени.

112

Аналогично, в соответствующих масштабах могут быть построе­ ны кривые, дающие зависимость v(t) — график скорости и ax(t), aH(t), a(t) — графики касательного, нормального и полного ускоре­ ний.

На рис. 127, а, б, в сверху показаны графики движений, опре­ деляемых соответственно уравнениями (25), (27) и (28). Ниже на тех же рисунках изображены для этих движений графики скоростей и графики касательных ускорений.

График равномерного движения изображается, как мы видим, прямой линией, направленной под углом к оси абсцисс, график ско­ рости в этом случае — прямой, параллельной оси абсцисс (v=const), а график касательного ускорения — прямой, совпадающей с осью абсцисс (ат= 0). Для равнопеременного движения (в изображенном на рис. 127, б случае — ускоренного) график движения изобра­ жается ветвью параболы, график скорости — прямой, направлен­ ной под углом к оси абсцисс, а график касательного ускорения — прямой, параллельной оси абсциис (ах= const). Наконец, для гар­ монических колебаний (рис. 127, в) соответствующие графики изоб­ ражаются косинусоидами или синусоидами.

График движения не следует смешивать с траекторией, которая во всех рассмотренных случаях должна быть задана дополнительно.

Графики нормального и полного ускорений на рис. 127 не пока­ заны, так как ап и а кроме закона движения зависят еще от р, т. е. от вида траектории, и при одном и том же законе s—f(t) будут для разных траекторий разными.

§46. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Как уже указывалось, для решения задач кинематики надо знать закон движения точки. Если движение задано естественным спосо­ бом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то все характеристики движения (скорость, касательное, нормальное и полное ускорение) определяются по формулам, полученным в § 42—44. Этими формулами можно, конечно, пользоваться и когда движение задано другим способом.

Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когда движение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этого по формулам (12) — (15) находим н и а. Беря производную по времени от найден­ ной скорости v, можно определить ax=dv!dt. Но обычно это проще делать иначе.

Возьмем равенство i>*=t>J+t>J и продифференцируем обе его части по t\ получим

Теперь, зная а и axi определяем ап из равенства а’= а ? + вЦ. Одновременно мож­

но найти радиус кривизны траектории р из формулы а„=«^/р. Пример таких рас­ четов дан в задаче 53.

Задача 51. При небольших углах отклонения груз маятника (рис. 128) дви­ жется по окружности радиуса / по закону s = 4 sin kt (начало отсчета в точке О, Л и * — постоянные величины). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения груза и те положения, в которых эти величины обращаются

внуль.

Ре ш е н и е . Пользуясь соответствующими формулами, находим:

Аксо» М; ot = о.= —<4**slnW;

а„ = v*/l = (А*к*/1) cos* kt.

Из закона движения следует, что груз со­ вершает вдоль траектории гармонические коле­ бания с дуговой амплитудой А. В крайних по­ ложениях (в точках В, и В,) sin kt= ± 1, а сле­ довательно, cos k t= 0. Поэтому в тбчках в , и Bt

скорость п нормальное ускорение обращаются в нуль; касательное же ускорение имеет здесь наибольшее по модулю значение ат т м ’=/**1-

Pibi*=^A!, а„ m»*=,i4***//.

Из данного примера видно, что при криволинейном неравномерном движении

вотдельных точках траектории атили а„ могут обращаться в нули. При этом вт= 0

втех точках, где do/dt^O , т. е. там, например, где о имеет максимум или минимум,

аап= 0 в тех точках, где о= 0 (как в нашем случае) или где р=оо (точка перегиба

где R я е — постоянные положительные величины, имеющие размерности: R — длины, « — углового ускорения (см, § 49),

114

Перейти к естественному способу задания движения, т. е. определить тра­ екторию и закон движения точки вдоль траекторйи в виде s= /(/). Найти также

что при t= 0 x = R , у — О, т. е. точка М находится на оси Ох. Примем это положение А<0 за начало отсчета О' расстояния s; тогда при < = 0 s = 0 . Когда <>0 у начинает возрастать, а х — убывать, т. е. точка начинает двигаться по направлению к оси Оу; примем это направление за положительное направление отсчета расстояния s.

^=P,eг/, . Подставляя это выражение в равенство (б) и вынося постоянный множи­ тель за знак интеграла, получим

о

Таким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону s=Rel*/2. Скорость точки

ся по закону, определяемому уравнениями:

x = v j, y=gi*/2,

где VQ и g г— некоторые постоянные.

Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­ мальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразив