Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

этому подробнее, как направлены реакции некоторых основных видов связей (дополнительные примеры приведены в § 17).

поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающих­

ся тел в точке их касания (рис. 8, а) *. Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхно­

вокруг общей оси, называемой осью шарнира (например, как две половины ножниц). Если тело А В прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D (рис. 10), то точка А тела не может при этом переместиться ни по какому на­ правлению, перпендикулярному оси шарнира. Следовательно, ре­ акция Я цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости^ перпендикулярной оси шарнира, т. е. в плоскости Аху.

Д ля силы R в этом случае наперед неизвестны ни ее модуль R, ни направление (угол а).

4. С ф е р и ч е с к и й ш а р н и р и п о д п я т н и к . Тела, соединенные сферическим шарниром, могут как угодно поворачи-

* Н а рис. 8— 12 действующие на тела заданные силы не показаны.

16

ваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Приме­ ром служит прикрепление фотоаппарата к штативу с помощью шаровой пяты. Если тело прикреплено с помощью такого шарнира 1к неподвижной опоре (рис. И , а), то точка А тела, совпадающая 1с центром шарнира, не может при этом совершить никакого пере­

мещения в пространстве. Следовательно, реакция R сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни ее

модуль R , ни углы с осями

Лхуг.

Произвольное направ­ ление в пространстве мо­

5.Н е в е с о м ы й

весом которого по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Пусть для какого-нибудь находящегося в равно­ весии тела (конструкции) такой стержень, прикрепленный в точках А и В шарнирами, является связью (рис. 12, а). Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в точках А и В; при равновесии эти силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль АВ (см. рис. 4, а, в). Но тогда согласно закону о действии и противодействии стержень будет действовать на тело

с силой, тоже направленной вдоль АВ . Следовательно, реакция N невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня на­ правлена вдоль оси стержня.

Еслу связью является криволинейный невесомый стержень

При решении задач реакции связей обычно являются подлежащими

определению неизвестными. Нахождение реакций имеет то прак­ тическое значение, что определив их, а тем самым определив по закону о действии и противодействии и силы давления на связи, получают исходные данные, необходимые для расчета прочности соответствующих частей конструкции.

Глава II

СЛОЖЕНИЕ СИЛ. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

| 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ СИЛ.

РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ; РАЗЛОЖ ЕНИЕ СИЛ

Решение многих задач механики связано с известной из вектор­ ной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Ве­ личину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором, этой системы сил. Как отмечалось в § 3 (см. рис. 6), понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей; для мно­ гих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

двух сил Fi и F t находится по правилу параллелограмма (рис. 13, в) или построением силового треугольника (рис. 13, б), изображаю­ щего одну из половин этого параллелограмма. Если угол ■с между силами равен а, то мо­ дуль R и углы Р, у, которые

лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллеле­ пипеда, построенного на этих силах (правило параллелепипеда). В справедливости этого убеждаемся, применяя последовательно правило параллелограмма (рис. 14).

3. С л о ж е н и е с и с т е м ы с и л . Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последова­ тельным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более_простым и удобным. Д ля нахождения этим способом суммы сил Flp F t , F g, . . . , Fn (рис^ 15, a) откладываем от произвольной точки О (рис. 15, б) вектор Оа, изображающий в выбранном масшта­ бе силу Flt от точки а — вектор ab, изображающий силу f ,, от точки Ь — вектор Ьс, изображающий силу F,, и т. д.; от конца т предпоследнего вектора откладываем вектор тп, изображающий

18

'силу Fn. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор On= R, изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

смотрим систему сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 15, а). Так как сила, действующая

Рис. 14

на абсолютно твердое тело, является вектором скользящим, то система сходящихся сил эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 15, а в точке А).

Цоследовательно применяя закон параллелограмма сил, придем к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, рав­ ную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и прило­ женную в точке пересечения их линий действия. Следовательно| система сил Fu F It . . . ,~Fn, изображенных на _рис. 15, а, имеет

равнодействующую, равную их главному вектору R и приложенную в точке А (или в любой другой точке, лежащей на линии действия

силы R , проведенной через точку А).

5. Р а з л о ж е н и е с и л . Разложить данную силу на не* сколько составляющих — значит найти такую систему нескольких сил, для которой данная сила является равнодействующей. Эта задача является неопределенной и имеет однозначное решение лишь при задании дополнительных условий. Рассмотрим два частных случая:

а) р а з л о ж е н и е с и л ы п о д в у м з а д а н н ы м н а ­ п р а в л е н и я м . Задача сводится к построению такого парал­ лелограмма, у которого разлагаемая сила является диагональю, а стороны параллельны заданным направлениям. Например, на рис. 13 показано, как сила R разлагается по направлениям А В и

AD на силы и F t— составляющие силы R (сила R и прямые А В , AD лежат, конечно, в одной плоскости);

б) р а з л о ж е н и е с и л ы п о т р е м з а д а н н ы м н а ­ п р а в л е н и я м . Если заданные направления не лежат в одной плоскости, то задача является определенной и сводится к построе­ нию такого параллелепипеда, у которого диагональ изображает

19

2 *

заданную силу R , а ребра параллельны заданным направлениям (см. рис. 14).

Способом разложения можно в простейших случаях пользовать­ ся для определения сил давления на связи. Для этого действующую на тело (конструкцию) заданную’силу надо разложить по направле­ ниям реакции связей, так как согласно закону о действии и противо­ действии сила давления на связь и реакция связи направлены вдоль одной и той же прямой.

Задача 1. Кронштейн состоит из стержней А С и ВС, соединенных со стеной и друг с другом шарнирами, причем Z B A C = 9 0 <>, Z A B C = a (рис. 16). В точке С подвешен груз весом Р Определить усилия в стержнях, пренебрегая их весом.

Р е ш е н и е . Под усилиями в стержнях понимают значения сил, растяги­ вающих или сжимающих эти стержни.. Так как стержни считаются невесомыми, то их реакции (они действуют на шарнир С) направлены вдоль стержней. Тогдп

д л я . определения искомых усилий приложим силу Т? в точке С и разложим ее

по направлениям А С и СВ. Составляющие S j и S t и будут искомыми силами. Из треугольника CDE находим:

S j = P/cos a , S2= P tg а .

Таким образом, стержень ВС сжимается силой S j, а стержень А С растягива­ ется силой S 2. С увеличением угла а усилия в стержнях растут и при а , близком к 90°, могут достигать очень больших размеров.

Задача 2. Фонарь весом Р = 200 Н (рис. 17) подвешен на двух тросах А С и ВС, образующих с горизонтальной прямой одинаковые углы а = 5 ° . Определить, с какой силой натянуты тросы.

Р е ш е н и е . Приложим силу Я в точке С и разложим ее по направлениям тросов. Параллелограмм сил в данном случае будет ромбом; диагонали его вза­ имно перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам. Из треугольника аСЬ находим, что / >/2 = T 1 s in a . Тогда

Т х= Г2= P /2 sin а ъ U50 Н.

Из полученной формулы видно, что с уменьшением угла а натяжение тросов значительно увеличивается (например, при а — I.4 Т = 5 7 3 0 Н). Н атянуть трос тпк, чтобы он стал горизонтальным, практически нельзя, так ках при а-*-0 Т-*-оо,

f 5. ПРОЕКЦИЯ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ

ИСЛОЖ ЕНИЯ СИЛ

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого дру­ гого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произве­

ло